Muirheadin epäyhtälö

Matematiikassa Muirheadin epäyhtälö yleistää aritmeettisen ja geometrisen keskiarvon välisen epäyhtälön. Sen mukaan jos reaaliluvuille

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$

${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}}$

on voimassa

${\displaystyle a_{1}\leq b_{1}}$

${\displaystyle a_{1}+a_{2}\leq b_{1}+b_{2}}$

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}\leq b_{1}+b_{2}+b_{3}}$

${\displaystyle \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots }$

${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n-1}\leq b_{1}+\cdots +b_{n-1}}$

${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}=b_{1}+\cdots +b_{n},}$

niin tällöin

${\displaystyle \sum _{\sigma }x_{\sigma _{1}}^{a_{1}}\cdots x_{\sigma _{n}}^{a_{n}}\leq \sum _{\sigma }x_{\sigma _{1}}^{b_{1}}\cdots x_{\sigma _{n}}^{b_{n}}}$, missä σ käy läpi kaikki lukujen 1,...,n permutaatiot.

Proschan ja Seutherman ovat yleistäneet Muirheadin epäyhtälön muotoon

${\displaystyle \sum _{\sigma }f(\sigma _{1},a_{1})\cdots f(\sigma _{n},a_{n})\geq \sum _{\sigma }f(\sigma _{1},b_{1})\cdots f(\sigma _{n},b_{n}),}$

missä f on logaritmisesti konveksi funktio x:n suhteen.

Aiheesta muualla

• Proschan, Seutherman, Two generalizations of Muirhead's theorem, Bull. Cal. Math. Soc. 69 (1977), 341-344.
• Muirheadin epäyhtälön todistus