Laplace-muunnos

Laplace-muunnos (Laplacen muunnos) on eräs yleisimmin käytetyistä integraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monilla fysiikan osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa sekä matematiikassa todennäköisyyslaskennassa. Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisemiseen.^[1]

Mielivaltaisen funktion f(t), joka on määritelty kaikilla t>0, Laplace-muunnos määritellään integraalina:

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)dt}$,

missä ${\displaystyle 0-=\lim _{\epsilon \rightarrow +0}-\epsilon }$.^[1] Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)dt}$

Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti ${\displaystyle s}$ on kompleksiluku: ${\displaystyle s=\sigma _{1}+i\sigma _{2}}$, missä ${\displaystyle i}$ on imaginääriyksikkö ja ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in \mathbb {R} }$. Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F(s)ds}$

• Laplace-muunnos on selvästi lineaarinen:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{af(t)+bg(t)\}=aF(s)+bG(s)}$

• Kahden funktion konvoluution Laplace-muunnos:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)*g(t)\}=F(s)G(s)}$

• Signaalinkäsittelyssä käytännöllinen on alku- ja loppuarvoteoreema:

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}f(t)=\lim _{s\rightarrow \infty }sF(s)}$

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow 0}sF(s)=\lim _{t\rightarrow \infty }f(t)}$

• Erityisen kiintoisa on funktion derivaatan Laplace-muunnos:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{{\frac {df}{dt}}\}=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)}$^[2]

Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa.

Yleensä on Laplace-muunnosta käytettäessä kätevää käyttää valmiita muunnoskaavoja, joita on taulukoitu erilaisille funktioille. Seuraavassa on keskeisimpiä:^[2],^[3]

Funktio	Laplace-muunnos	Rajoitteet
1	${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$	s>0
${\displaystyle e^{ax}}$	${\displaystyle {\frac {1}{s-a}}}$	${\displaystyle s>\max\{a,0\}}$
${\displaystyle x^{n}}$	${\displaystyle {\frac {n!}{s^{n+1}}}}$	s>0
${\displaystyle \sin(ax)}$	${\displaystyle {\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}}$	s>0
${\displaystyle \cos(ax)}$	${\displaystyle {\frac {s}{s^{2}+a^{2}}}}$	s>0
${\displaystyle \sinh(ax)}$	${\displaystyle {\frac {a}{s^{2}-a^{2}}}}$	s>0
${\displaystyle \cosh(ax)}$	${\displaystyle {\frac {s}{s^{2}-a^{2}}}}$	s>0

• Fourier'n muunnos
• Mellinin muunnos

• Väisälä, Kalle: Matematiikka V: Laplace-muunnos. Espoo: Otakustantamo, 1980 (1965). ISBN 951-671-020-4.
• Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9.

• Laplace- ja Fourier-muunnoksia online (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)
• Luettelo funktioiden Laplace-muunnoksista ja käänteismuunnoksista (englanniksi)
• Toinen luettelo eri funktioiden Laplace-muunnoksista (englanniksi)