Konvoluutio

Kahden aikasarjan konvoluutio.

Matematiikassa ja erityisesti funktionaalianalyysissä konvoluutio on kahden funktion f   {\displaystyle f\ } ja g   {\displaystyle g\ } välille määritelty operaatio, joka tuottaa uuden funktion f ∗ g   {\displaystyle f*g\ } .[1] Konvoluutiota käytetään tilastotieteessä, signaalinkäsittelyssä ja differentiaalilaskennassa. Erityisesti diskreettiä konvoluutiota käytetään digitaalisessa signaalinkäsittelyssä signaalin suodattamiseen.

Konvoluutio voidaan kuvata kahden signaalin yhteisenä pinta-alana siirroksen funktiona, kun jälkimmäinen signaali ensin käännetään y-akselin suhteen ja tämän jälkeen liikutetaan sitä x-akselilla positiiviseen suuntaan.

Määritelmä

Konvoluutio määritellään jatkuville funktioille integraalina

( f ∗ g ) ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t − τ ) g ( τ ) d τ {\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )d\tau }

tai tämän kanssa yhtäpitävästi

( f ∗ g ) ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( t − τ ) d τ . {\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau .}

Määritelmissä integrointi ulottuu funktioiden määrittelyalueen yli. Konvoluutio voidaan jakaa integroinnin kannalta lineaariseen konvoluutioon ja jaksolliselle funktioille määriteltyyn ympyräkonvoluutioon.

Diskreeteille funktioille konvoluutio määritellään vastaavasti sarjakehitelmänä

( f ∗ g ) ( n ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( k ) g ( n − k ) {\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f(k)g(n-k)}} .

Lukuteoreettisille funktioille on määritelty Dirichlet'n konvoluutio:

( f ∗ g ) ( n ) = ∑ k | n , k > 0 f ( k ) g ( n / k ) . {\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{k|n,k>0}{f(k)g(n/k)}\,.}

Konvoluution ominaisuuksia

Konvoluution ominaisuudet vastaavat monia reaalilukujen kertolaskun ominaisuuksia:

  • Assosiatiivisuus
( h ∗ f ) ∗ g = h ∗ ( f ∗ g ) {\displaystyle (h*f)*g=h*(f*g)\,}
  • Distributiivisuus
h ∗ ( f + g ) = h ∗ f + h ∗ g {\displaystyle h*(f+g)=h*f+h*g\,}
  • Kommutatiivisuus
f ∗ g = g ∗ f {\displaystyle f*g=g*f\,}
  • Skalaarimonikerta
a ( f ∗ g ) = ( a f ) ∗ g = f ∗ ( a g ) , a ∈ R {\displaystyle a(f*g)=(af)*g=f*(ag)\,,\quad a\in \mathbb {R} }
  • Konvoluution derivaatta
D ( f ∗ g ) = D f ∗ g = f ∗ D g {\displaystyle D(f*g)=Df*g=f*Dg\,}

Konvoluutioteoreema

Tärkeimpiä konvoluution ominaisuuksia on konvoluutioteoreemana tunnettu ominaisuus, jonka mukaan kahden funktion konvoluution Fourier-muunnos on näiden funktioiden Fourier-muunnosten tulo, eli

F { f ( x ) ∗ g ( x ) } = F ( ω ) G ( ω ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(x)*g(x)\}=F(\omega )G(\omega )} ,

missä F ( ω )   {\displaystyle F(\omega )\ } ja G ( ω )   {\displaystyle G(\omega )\ } ovat funktioiden f ( x )   {\displaystyle f(x)\ } ja g ( x )   {\displaystyle g(x)\ } Fourier-muunnoksia. Teoreema pätee myös Laplace-muunnokselle ja diskreetissä tapauksessa Z-muunnokselle. Konvoluutioteoreema pätee myös monille muille integraalimuunnoksille.

Lähteet

  1. ↑ Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Kirjallisuutta

  • Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9.