Cauchyn integraalikaava

Cauchyn integraalikaava on funktioteorian tulos, jolla pystyy laskemaan analyyttisen funktion arvon annetun alueen sisäpisteissä, jos funktion arvot tunnetaan alueen reunalla.

Formaalisti: Olkoon f {\displaystyle f} analyyttinen alueessa A {\displaystyle A} ja D {\displaystyle D} kiekko, jonka sulkeuma sisältyy A {\displaystyle A} :han. Tällöin kaikilla z ∈ D {\displaystyle z\in D}

f ( z ) = 1 2 π i ∮ ∂ D f ( ξ ) ξ − z {\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}} d ξ {\displaystyle \xi } .[1]

Cauchyn integraalikaavasta seuraa, että analyyttinen funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva. n:nnelle derivaatalle voidaan johtaa esitys

f ( n ) ( z ) = n ! 2 π i ∮ ∂ D f ( ξ ) ( ξ − z ) n + 1 d ξ . {\displaystyle f^{(n)}(z)={n! \over 2\pi i}\oint _{\partial D}{f(\xi ) \over (\xi -z)^{n+1}}\,d\xi .} [2]

Näitä kaavoja voidaan käyttää hyväksi residylauseen todistamisessa.

Lähteet

  1. ↑ Weisstein, Eric W.: CRC Concise Encylopedia of Mathematics, s. 352. , 2003.
  2. ↑ Weisstein, Eric W.: CRC Concise Encylopedia of Mathematics, s. 353. , 2003.

Kirjallisuutta

  • Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables. Shaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-9, ISBN 978-0-07-161570-9 (eBook).