Talesen teorema (elkarketa)

Talesen teorema edo elkarketaren teorema —ingelesez, teorema hau Intercept theorem izenarekin da ezaguna— Geometriako oinarrizko teorema bat da, eta hau dio:

Eman ditzagun hiru zuzen paralelo. Beste bi zuzen ebakitzailek (d eta d') mozten badituzte, d lerroko zuzenkiek (${\displaystyle {\overline {AB}}}$ eta ${\displaystyle {\overline {BC}}}$) eta d' lerrokoek (${\displaystyle {\overline {A'B'}}}$ eta ${\displaystyle {\overline {B'C'}}}$) proportzionaltasuna gordetzen dute:

${\displaystyle {{\overline {AB}} \over {\overline {A'B'}}}={{\overline {BC}} \over {\overline {B'C'}}}.}$

Geometria klasikoan, bi teorema daude Talesen teorema izena daukatenak: bata hau da, Talesen teorema (elkarketa); eta bestea, Talesen teorema (zirkulua). Uste da Tales Miletokoa K. a. VI. mendeko greziar matematikari eta filosofoak formulatu zituela bi teorema horiek, eta berarengandik datorkie izena.

Lehenengoa (elkarketaren teorema) artikulu honen gaia da, eta azaltzen du nola eraiki triangelu baten beste triangelu antzeko bat ("antzeko triangeluek angelu berdinak dituzte").

Bigarrenak (zirkuluarena), aldiz, triangelu zuzenen zirkunzentroen funtsezko berezitasun bat argitzen du ("hipotenusaren erdigunean dago zirkunzentroa"), marrazketa geometrikoan angelu zuzenak eraikitzeko erabiltzen dena.

Triangelu isoszeleek bi angelu berdin dituztela frogatzeko erabili zituen Talesek emaitza horiek, bai eta triangelu baten hiru angeluen batura bi angelu zuzen dela ere.

Formulazioa

Demagun S bi lerroren elkargunea dela, eta A, B, lehen lineak bi paraleloekin dituen elkarguneak. Hala, B S-tik A-tik baino urrutiago dago, eta, era berean, C, D bigarren lineak bi paraleloekin dituen elkarguneak dira, D S-tik C-tik urrutiago baitago.

1. Lehenengo lerroan bi segmenturen arteko erlazioa eta bigarren lerroan adostasun-segmentuen erlazioa berdinak dira:${\displaystyle |SA|:|AB|=|SC|:|CD|}$, ${\displaystyle |SB|:|AB|=|SD|:|CD|}$, ${\displaystyle |SA|:|SB|=|SC|:|SD|}$
2. S-n hasten den lerro bereko bi segmentuen erlazioa eta paraleloetako segmentuen erlazioa berdinak dira:${\displaystyle |SA|:|SB|=|SC|:|SD|=|AC|:|BD|}$
3. Lehenengo esaldikoaren kontrakoa ere egia da, hau da, bi lerro arbitrariok elkar ebakitzen badute eta ${\displaystyle |SA|:|AB|=|SC|:|CD|}$ eusten baditu, bi intertzeptazio paraleloak dira. Hala ere, bigarren baieztapenaren aurkakoa ez da egia.
4. S-n bi lerro baino gehiago ebakitzen baditu, paraleloan dauden bi segmentuen arteko erlazioa bat dator beste paraleloan dauden hitzarmen-segmentuen erlazioarekin:${\displaystyle |AF|:|BE|=|FC|:|ED|}$, ${\displaystyle |AF|:|FC|=|BE|:|ED|}$

Talesen lehen teoremak lerroen sekzioen proportzioak erakusten ditu; bigarrenak, lerroen sekzioen proportzioak, eta paraleloen sekzioak; azkenik, hirugarrenak paraleloen sekzioen proportzioak erakusten ditu.

Froga

Teoremaren oinarrizko froga batek azalera berdineko triangeluak erabiltzen ditu arrazoiei buruzko oinarrizko adierazpena (1.) frogatzeko. Ondoren, beste baieztapenak lehenengoa eta kontraesana aplikatuz frogatzen dira.

1. baieztapena

Oharra: Barra bertikalen artean jarritako triangeluekin (${\displaystyle |\triangle ABC|}$) haien azalera adierazten da eta segmentuekin (${\displaystyle |AB|}$) haien luzera. Froga: ${\displaystyle CA\parallel BD}$ denez, ${\displaystyle \triangle CDA}$ eta ${\displaystyle \triangle CBA}$ triangeluen altuerek luzera berdina dute. Triangelu horiek oinarri bera partekatzen dutenez, haien azalerak berdinak dira. Beraz, ${\displaystyle |\triangle CDA|=|\triangle CBA|}$ eta ${\displaystyle |\triangle SCB|=|\triangle SDA|}$ ere bai. Hori dela eta ${\displaystyle {\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle CDA|}}={\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle CBA|}}}$ eta ${\displaystyle {\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle SDA|}}={\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle SCB|}}}$ Triangelu-azaleren formula (${\displaystyle {\tfrac {{\text{oinarria}}\cdot {\text{altura}}}{2}}}$) erabiliz aurreko adierazpenak honela idatzi ahal dira; ${\displaystyle {\frac {|SC||AF|}{|CD||AF|}}={\frac {|SA||EC|}{|AB||EC|}}}$ eta ${\displaystyle {\frac {|SC||AF|}{|SD||AF|}}={\frac {|SA||EC|}{|SB||EC|}}}$ Faktore komunak ezabatuz honela geratzen direnak: ${\displaystyle \,{\frac {|SC|}{|CD|}}={\frac {|SA|}{|AB|}}}$       eta       ${\displaystyle \,{\frac {|SC|}{|SD|}}={\frac {|SA|}{|SB|}}}$       1. baieztapenaren frogatu beharreko 1. eta 3. berdintzak eta 3. berdintza horretatik ${\displaystyle 1-{\frac {|SC|}{|SD|}}=1-{\frac {|SA|}{|SB|}}}$       eta       ${\displaystyle {\frac {|SD|-|SC|}{|SD|}}={\frac {|SB|-|SA|}{|SB|}}}$ eta, beraz, ${\displaystyle \,{\frac {|CD|}{|SD|}}={\frac {|AB|}{|SB|}}}$ edo gauza bera dena ${\displaystyle \,{\frac {|SD|}{|CD|}}={\frac {|SB|}{|AB|}}}$       Frogatu beharreko 2. berdintza. ${\displaystyle \,\square }$

2. baieztapena

A puntutik marraztutako ${\displaystyle SD}$-rekiko zuzen paralelo laguntzaileak ${\displaystyle BD}$ zuzena G puntuan ebakitzen du eta ${\displaystyle |AC|=|DG|}$ da. Erabiltzen badugu frogatutako 1. baieztapena B puntuan elkar ebakitzen duten ${\displaystyle SB}$ eta ${\displaystyle DB}$ lerroekin ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|DG|}{|BD|}}}$ dugu, eta hemen ${\displaystyle |DG|}$-a ${\displaystyle |AC|}$-z ordezkatuz: ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|AC|}{|BD|}}}$ ${\displaystyle \square }$

3. baieztapena

Demagun ${\displaystyle AC}$ eta ${\displaystyle BD}$ paraleloak ez direla. Orduan, ${\displaystyle D}$-tik doan ${\displaystyle AC}$-ren zuzen paraleloak ${\displaystyle B_{0}\neq B}$ puntuan ebakitzen du ${\displaystyle SA}$ zuzena. Eta ${\displaystyle |SB|:|SA|=|SD|:|SC|}$ egia denez, ${\displaystyle |SB|={\frac {|SD||SA|}{|SC|}}}$ dugu. eta, bestalde, 1. baieztapenetik ${\displaystyle |SB_{0}|={\frac {|SD||SA|}{|SC|}}}$. Beraz, ${\displaystyle B}$ eta ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle S}$-ren alde berean eta ${\displaystyle S}$-tik distantzia berera daude, ${\displaystyle B=B_{0}}$ dela esan nahi duena. Egindako hipotesiarekin bat ez datorrena; beraz, hipotesi hori ezin da egia izan, eta ${\displaystyle AC}$ eta ${\displaystyle BD}$ paraleloak dira ${\displaystyle \square }$.

Lotutako kontzeptuak

Antzekotasuna eta antzeko triangeluak

Talesen teoremak lotura estua du antzekotasunarekin. Antzeko triangeluen baliokidea da, hau da, antzeko triangeluen eta antzeko triangeluen propietateak probatzeko erabil daiteke, Talesen teorema probatzeko. Angelu berdinak parekatzean, elkarren antzeko bi triangelu jar daitezke beti, Talesen teorema aplikatzen den konfigurazioa lortzeko; eta, kontrara, Talesen teoremaren konfigurazioak beti antzeko bi triangelu ditu.

Biderketa eskalarra bektore-espazioetan

Bektore-espazio normalizatu batean, biderketa eskalarrari buruzko axiomek (bereziki ${\displaystyle \lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}}$ eta ${\displaystyle \|\lambda {\vec {a}}\|=|\lambda |\cdot \ \|{\vec {a}}\|}$) bermatzen dute Talesen teorema mantentzen dela. Batek${\displaystyle {\frac {\|\lambda \cdot {\vec {a}}\|}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot {\vec {b}}\|}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})\|}{\|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|}}=|\lambda |}$ du.

Aplikazioak

Konpas eta erregela eraikuntzen formulazio aljebraikoa

Oinarrizko geometrian hiru problema ezagun daude, eta grekoek planteatu zituzten konpas eta eskuairarekin eraiki daitezkeenei dagokionez:^[1]

1. Angeluaren trisekzioa
2. Kuboa bikoiztea
3. Zirkuluaren koadratura

2000 urte baino gehiago iraun zuten, eta azkenean hirurak ezinezkoak agertu ziren XIX. mendean emandako tresnekin, denbora horretan eskuragarri zeuden metodo aljebraikoak erabiliz. Aljebrako terminoetan birformulatzeko, gorpoutz-eragiketak eta konpasa eta eskuaira konbinatu behar dira. Bereziki, garrantzitsua da bi linea-segmentu jakinetarako linea-segmentu berri bat eraiki ahal izatea, haien luzera beste bien luzeren biderkaduraren berdina izan dadin. Era berean, ${\displaystyle a}$luzera-lerroko segmentu baterako, ${\displaystyle a^{-1}}$ luzera-lerroko segmentu berri bat eraiki behar da. Bi kasuetan eraikuntza hori posible dela erakusteko erabil daiteke intertzeptazio-teorema.

Produktu bat eraikitzea

Alderantzizkoa eraikitzea

Lerro-segmentu bat proportzio jakin batean zatitzea

Lerro arbitrarioko ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ segmentu bat proportzio batean zatitzeko, marraztu angelu arbitrario bat An${\displaystyle {\overline {AB}}}$ hanka batekin. Beste hankan ${\displaystyle m:n}$ puntu distantziakideak eraiki, eta, gero, mgarren puntuaren bidez lerroa marrazten da azkeneko puntutik eta B puntutik, eta mgarren puntutik lerro paraleloa egiten da. Lerro paralelo hori nahi den proportzioan ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ banatzen du. Eskuinean dagoen grafikoak ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ linea-segmentu baten zatiketa erakusten du ${\displaystyle 5:3}$ proportzio batean.

Neurketa eta azterketa

Keops piramidearen altuera

Zenbait iturri historikoren arabera, Tales matematikari grekoak Gizako piramide handiaren altuera zehazteko teorema gurutzatua aplikatu zuen. Piramidearen altuera kalkulatzeko intertzeptazio-teoremaren erabilera erakusten du hurrengo deskribapenak. Hala ere, ez du kontatzen Talesen jatorrizko lana, galdu egin baitzen.

Talesek piramidearen oinarriaren luzera eta makilaren altuera neurtu zituen. Gero, eguneko ordu berean, piramidearen itzalaren luzera eta makilaren itzalaren luzera neurtu zituen. Datu hauek eman zituen horrek:

• makilaren altuera (A): 1,63 m
• makilaren itzala (B): 2 m
• piramidearen oinarriaren luzera: 230 m
• piramidearen itzala: 65 m

Hortik konputatu zuen berak

${\displaystyle C=65~{\text{m}}+{\frac {230~{\text{m}}}{2}}=180~{\text{m}}}$

A, B eta C ezagututa, orain gai izan zen konputatzeko teorema gurutzatua aplikatzeko

${\displaystyle D={\frac {C\cdot A}{B}}={\frac {1.63~{\text{m}}\cdot 180~{\text{m}}}{2~{\text{m}}}}=146.7~{\text{m}}}$

Ibai baten zabalera neurtzea

Talesen teorema zuzenean neurtu ezin den distantzia zehazteko erabil daiteke, hala nola ibai baten edo laku baten zabalera, eraikin altu edo antzekoen altuera. Eskuinaldeko grafikoak ibai baten zabaleraren neurketa erakusten du. ${\displaystyle |CF|}$, ${\displaystyle |CA|}$ eta ${\displaystyle |FE|}$segmentuak neurtu eta erabili egiten dira nahi den distantzia kalkulatzeko.${\displaystyle |AB|={\frac {|AC||FE|}{|FC|}}}$

Lerro paraleloak triangeluetan eta trapezoideetan

Talesen teorema erabil daiteke frogatzeko eraikuntza jakin batek lerro paraleloak (segmentua)s sortzen dituela.

Triangeluaren bi aldeetako batez besteko puntuak konektatuta badaude, ondoriozko lerro-segmentua triangeluaren hirugarren aldearekiko paraleloa da (triangeluen erdiko puntuaren teorema).

Trapezoide baten bi alde ez-paraleloen erdiko puntuak konektatuta badaude, trapezoidearen beste bi aldeekiko paraleloa izango da linea-segmentua.

Ariketak

• Talesen teorema
• Talesen teoremak antzekotasunak lantzeko ariketa.

Erreferentziak

Bibliografia

• French, Doug. (2004). Teaching and learning geometry : issues and methods in mathematical education. Continuum ISBN 0-8264-7361-X. PMC 56658329. (Noiz kontsultatua: 2022-06-01).
• Agricola, Ilka. (2008). Elementary geometry. ([English ed.]. argitaraldia) American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-4347-5. PMC 173218854. (Noiz kontsultatua: 2022-06-01).
• Stillwell, John. (2005). The four pillars of geometry. Springer ISBN 978-0-387-25530-9. PMC 74809803. (Noiz kontsultatua: 2022-06-01).
• Ostermann, Alexander. (2012). Geometry by its history. Springer ISBN 978-3-642-29163-0. PMC 787859446. (Noiz kontsultatua: 2022-06-01).

Kanpo estekak

• (Gaztelaniaz) Aplicaciones del Teorema de Tales

• Datuak: Q3757563
• Multimedia: Intercept theorem / Q3757563