Matrize diagonal

Aljebra linealean, matrize diagonala matrize karratu bat da, diagonal nagusian ez dauden elementu guztien balioa zero dena. Diagonal nagusiko elementuen balioa edozein izan daiteke, baita zero ere. Beraz, ${\displaystyle D=(d_{i,j})}$ matrizea diagonala da baldin eta soilik:

${\displaystyle (d_{i,j})=0\ \forall i\neq j}$ bada. Hau da:

${\displaystyle D={\rm {diag}}(d_{11},d_{22},\dots ,d_{nn})={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}}$.

Adibidez, honako matrize hau diagonala da:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}}$

Matrize diagonalaren beste adibide bat unitate matrizea da.

Askotan, matrize diagonala izendatzeko diag(a₁,...,a_n) notazioa erabiltzen da, non a₁,...,a_n diagonal nagusiko elementuak diren, goiko ezkerretik hasita. Hau da, aurreko adibidea diag(1,4,-2) notazioarekin ere idatz daiteke; aldiz, matrize identitateak diag(1,1,...,1) motakoak dira.

Matrize diagonal guztiak simetrikoak eta (goi- eta behe-) triangeluarrak dira; eta, elementuak ℝ edo ℂ gorputzekoak badira, normalak deitzen dira.

Matrize diagonalgarria

Izan bedi ${\displaystyle f\in End(V)}$. Esaten da ${\displaystyle f}$ diagonalgarria dela, existitzen bada ${\displaystyle f}$-ri elkartutako ${\displaystyle D}$ matrize diagonal bat, edo baliokidea dana, bektore propioz osatutako ${\displaystyle V}$-ren ${\displaystyle \beta }$-oinarri bat lor badaiteke, izan ere, kasu horretan ${\displaystyle M{\scriptstyle {\text{B}}}(f)=D}$ izango baita.

• ${\displaystyle A\in M{\scriptstyle {\text{n}}}(K)}$ matrize karratu diagonalgarria dela diogu ${\displaystyle \exists D\in M{\scriptstyle {\text{n}}}(K)}$ matrize diagonala ${\displaystyle A}$-rekin antzekoa (${\displaystyle D=P^{-1}*A*P,P\in GL{\scriptstyle {\text{n}}}(K)}$ ) dana. Endomorfismo bati elkartutako matrizeek elkarren artean antzekoak diranez, hau dogu:

${\displaystyle f\in End(V)}$ eta ${\displaystyle A\in M{\scriptstyle {\text{n}}}(K)}$ edozein badira: ${\displaystyle f}$ diagonalgarria ${\displaystyle \Longleftrightarrow A}$ diagonalgarria.

Bereziki, ${\displaystyle A\in M{\scriptstyle {\text{n}}}(K)}$ edozein matrize karratu bada,

${\displaystyle B}$ diagonalgarria ${\displaystyle \Longleftrightarrow B}$ matrizea modu naturalean definitzen dauan ${\displaystyle f{\scriptstyle {\text{B}}}}$ endomorfismoa diagonalgarria bada.

${\displaystyle {\displaystyle f\in End(V)}}$ izanik (${\displaystyle dim(V)=n}$), orduan ${\displaystyle f}$ diagonalgarria da bi kasu honeek betetzen dauzanean:

1. ${\displaystyle \chi f(x)}$ polinomioaren ${\displaystyle n}$ erroak ${\displaystyle K}$ gorputzean dagoz. Kasu honetan ${\displaystyle \chi f(x)}$ ${\displaystyle K}$-ren gainean banatzen dala esaten da.
2. ${\displaystyle \lambda ,f}$-ren balio propio guztietarako ${\displaystyle dim(V(\lambda ))=m(\lambda )}$

Eragiketak matrizeekin

Batuketa eta matrizeen biderketa eragiketak oso errazak dira matrize diagonalekin. Batuketarako:

diag(a₁,...,a_n) + diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁+b₁,...,a_n+b_n)

eta matrizeen biderketarako,

diag(a₁,...,a_n) · diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁b₁,...,a_nb_n).

diag(a₁,...,a_n) matrize diagonalak alderantzizko matrizea izango du, baldin eta soilik a₁,...,a_n elementuak 0 ez badira. Orduan, hau daukagu

diag(a₁,...,a_n)^-1 = diag(a₁^-1,...,a_n^-1).

Bereziki, matrize diagonalek azpieraztun bat osatzen dute, n×n dimentsioko matrizeen eraztunaren parte dena.

Kanpo estekak

• Datuak: Q332791