Eremuen klaseen teoria

Matematikan, klase gorputz teoria zenbaki aljebraikoen teoriaren adar bat da. Adar honen helburua, gorputz lokalei eta gorputz globalei dagozkien Galois-en hedadura abeldarrak deskribatzea da. Hedaduren deskribapen hori, gorputz hedaduraren oinarriko gorputzari dagokion aritmetikaren bidez egiten da; hots, oinarriko gorputzari dagokion ideal klase taldearen bidez.

Klase gorputz izena erabiltzen da, ideal klase taldearekin zerikusia duen propietate tekniko bat betetzen duten gorputz hedadurak izendatzeko. Hedadura hauei dagokien teorema nagusiaren arabera, klase gorputzak galoisen hedadura abeldarrekin bat datozela dio. Hortik datorkio klase gorputz teoria izena adar honi.

Deskribapen orokorra

Hasiera batean, teoria honek hedadura abeldarrak soilik aztertzen zituen; hau da, gorputzaren Galoisen hedadura bat harturik, hedadurari dagokion Galois-en taldea abeldarra zeneko kasua. Kasu horretarako teoria 1850-1930 bitartean garatu zen. Abeldarrak ez diren hedaduren kasuan, lehen emaitza garrantzitsuak 1997an hasi ziren lortzen, eta Langlands programaren parte dira.

Hedadura abeldarren kasuaren ikerketaren zati handi bat Kroneckerren Jugendtraum ospetsuan zentratzen da. Ikerketa horren helburua, zenbaki aljebraikoen gorputz bakoitzerako hedadura abeldar maximala sortzeko gai diren funtzioak aurkitzea da. (Oinarriko gorputza ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ bada, funtzio sortzaileak polinomio ziklotomikoak dira).

Izan bedi K zenbaki aljebraikoen gorputza. Hedadura abeldar maximalaren Galois-en taldea k-ren gaineko gradu infinitukoa den talde topologiko trinko abeldarra da. Kronecker-ek frogatu zuen, K=${\displaystyle \mathbb {Q} }$ zenbaki arrazionalen gorputza denean, talde topologiko hori zenbaki p-adiko osoen talde batukorren produktu infinitua dela p zenbaki lehen guztietarako, eta talde zikliko finituen produktu infinitu batena. Teorema horren orokortzea proiektu historiko handi baten emaitza izan zen, ondorengo gaiak bildu zituena: forma koadratikoak eta bere genero-teoria, elkarrekikotasun legeak, idealen teoria, hedadura ziklotomikoak eta Kummer hedadurak.

Berrogeita hamarreko hamarkadan, Tateren tesiarekin hasita, emaitza guztiak taldeen kohomologiaren arabera berridatzi ziren. Gero, kieszentzia-aldi bat izan zen, Langlands-en aieruek hirurogeiko hamarkadan bat-batean eten zutena.

Erreferentziak

• Gras, Georges (2003). Class Field Theory: from theory to practice. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44133-5. 
• Jürgen Neukirch, Algebraic number theory

Bibliografia osagarria

• Artin, Emil; Tate, John. (1990). Class field theory. Addison-Wesley ISBN 978-0-201-51011-9..
• Cassels, ed. Algebraic Number Theory. Academic Press.
• Conrad, Keith. History of class field theory.. .
• Fesenko, Ivan B; Vostokov, Sergei V.. (2002). Local fields and their extensions. in: Translations of Mathematical Monographs. 121 (Second. argitaraldia) American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-3259-2..
• Iwasawa, Kenkichi. (1986). Local class field theory. in: Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press Oxford University Press ISBN 978-0-19-504030-2..
• Kawada, Yukiyosi. (1955). «Class formations» Duke Math. J. 22 (2): 165–177.  doi:10.1215/s0012-7094-55-02217-1..
• Kawada, Yukiyosi; Satake, I.. (1956). «Class formations. II» J.Fac. Sci.Univ. Tokyo Sect. 1A 7: 353–389..
• Milne, James S.. (2020). Class Field Theory. (4.03. argitaraldia).
• Neukirch, Jürgen. (1986). Class Field Theory. Springer-Verlag ISBN 978-3-540-15251-4..

Kanpo estekak

• Klaseko eremuen teoria. Carlos Ivorra Castillo - Valentziako Unibertsitatea.

• Datuak: Q1744580