Ekuazioak ebaztea

Ekuazio baten ebazpena azaltzen duen bideoa.
Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu hemen.

Ekuazioak zenbakiz eta letraz osatutako berdintza baldintzatuak dira. Zenbakiak ezagunak dira; letrak, aldiz, ezezagunak; ekuazioak ebaztea letren balio zehatza aurkitzean datza, berdintza bete dadin.

Baliteke emaitza bat baino gehiago zuzenak izatea, edota ekuazioak emaitza errealik ez izatea. Ekuazio-mota asko daude, ezezagun kopuruaren eta ekuazioaren egituraren arabera.

Ezezagun bakarreko ekuazio-motak

Ekuazio polinomikoak

Ekuazio polinomikoetan polinomioak agertzen dira berdintzaren bi aldeetan. Adierazpen orokorra honako hau da:

a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Gehienez, ekuazioaren maila den adina erro edo soluzio izaten du ekuazio polinomikoak; hau da, gure ekuazioaren maila n {\displaystyle n} baldin bada, ekuazioak n {\displaystyle n} soluzio edo gutxiago izango ditu.

Adibideak:

  • x 5 − 4 x 4 + 16 x 2 − 16 x = 0 {\displaystyle x^{5}-4x^{4}+16x^{2}-16x=0\quad } 5. mailako ekuazioa da, eta gehienez 5 soluzio izango ditu. Soluzioak: x 1 = 0 , x 2 = 2 {\displaystyle x_{1}=0,\quad x_{2}=2\quad } eta x 3 = − 2 {\displaystyle \quad x_{3}=-2} .
  • x 2 − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-1=0\quad } 2. mailako ekuazioa da, eta gehienez 2 soluzio izango ditu. Soluzioak: x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1\quad } eta x 2 = − 1 {\displaystyle \quad x_{2}=-1} .

Lehenengo mailako ekuazioak

a x + b = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle ax+b=0\;,\quad a\neq 0} erako ekuazioak dira, eta x = − b a {\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}} formako soluzioa dute.

Honako hauek dira ekuazioaren soluzioa edo erroa lortzeko urratsak:

  1. Berdintzaren alde batean, ezezagunak dituzten gaiak jartzen dira, eta beste aldean, berriz, gai askeak.
  2. Berdintzaren alde bakoitzeko gaiak laburtzen dira, euren arteko batuketak eta kenketak eginez.
  3. Ezezaguna bakantzen da: x {\displaystyle x} biderkatzen duen gaia beste aldera pasatzen da, zatituz.
  4. Posiblea bada, zatikia laburtzen da.

Adibidea:

  • 6 x − 2 − x = − 5 + 3 x + 7 {\displaystyle 6x-2-x=-5+3x+7}

Ebazteko urratsak:

  1. Ezezagunak dituzten gaiak berdintzaren ezkerraldean jartzen dira, eta gai askeak, berriz, eskuinaldean: 6 x − x − 3 x = − 5 + 7 + 2 {\displaystyle 6x-x-3x=-5+7+2}
  2. Alde bakoitzeko adierazpena laburtzen da, gaiak batuz eta kenduz: 2 x = 4 {\displaystyle 2x=4}
  3. x {\displaystyle x} biderkatzen duen gaia berdintzaren beste aldera pasatzen da zatituz: x = 4 2 {\displaystyle x={\frac {4}{2}}}
  4. Zatikia laburtzen da: x = 2 {\displaystyle x=2} .

Bigarren mailako ekuazioak

Hau da bigarren mailako ekuazioen adierazpen orokorra: a x 2 + b x + c = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,a\neq 0} .

Hortaz, lehenengo zeregina ekuazioari adierazpen orokorraren itxura ematea da.

Behin adierazpen orokorra izanda, kontuan hartu behar da bigarren mailako ekuazioen ebazpenek bi emaitza dituztela beti (errealak zein konplexuak izan daitezke). Emaitza horiei erro deritze.

Erroak lortzeko, honako formula hau dago:

x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a ( 1 ) {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad \quad (1)}

± {\displaystyle \pm } (plus,minus) zeinuarekin bereizten dira bi erroak:

x 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} eta x 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

Askotan, ebatzi beharreko ekuazioak bigarren maila duenean, erroak aurkitzeko, ( 1 ) {\displaystyle (1)} formula erabiltzen da zuzenean. Baina c = 0 {\displaystyle c=0} edo b = 0 {\displaystyle b=0} denean, ez da beharrezkoa formula hori erabiltzea, eta modu sinpleago batean ebatz dezakegu ekuazioa. Ikus dezagun:

c = 0 {\displaystyle c=0} denean, gure ekuazioak honako itxura izango du: a x 2 + b x = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx=0}

Ebazteko pausoak:

  1. Biderkagai komun moduan aterako dugu x {\displaystyle x} : x ( a x + b ) = 0 {\displaystyle x(ax+b)=0}
  2. Biderkadura zero izan dadin, biderkagaietako batek, behintzat, zero izan behar du. Orduan, bi biderkagaiak zerora berdinduz, honako hau daukagu;
    1. Alde batetik, lehenengo biderkagaia hartuz: x = 0 ⟹ x 1 = 0 {\displaystyle x=0\Longrightarrow x_{1}=0}
    2. Bestetik, bigarren biderkagaia hartuz: a x + b = 0 {\displaystyle ax+b=0} eta lehenengo mailako ekuazio hori askatuz (goian ikasi den moduan), bigarren erroa lortzen da: x 2 = − b a {\displaystyle x_{2}={\frac {-b}{a}}}

b = 0 {\displaystyle b=0} denean, ekuazioak honako itxura hau hartzen du: a x 2 + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+c=0}

Ebazteko pausoak:

  1. x {\displaystyle x} askatuko dugu: x = ± − c a {\displaystyle x=\pm {\sqrt {\frac {-c}{a}}}} . Bistakoa da soluzioak hauek direla: x 1 = − c a {\displaystyle x_{1}={\sqrt {\frac {-c}{a}}}} eta x 2 = − − c a {\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {\frac {-c}{a}}}}

Horretaz gain, aipatzekoa da c < 0 {\displaystyle c<0} denean soilik existitzen direla soluzio errealak.

Adibideak:[1]

  • x 2 − 3 x + 6 = 2 x {\displaystyle x^{2}-3x+6=2x}

Ebazteko pausoak:

  1. Adierazpen orokorra lortzen da: x 2 − 3 x + 6 = 2 x ⟹ x 2 − 5 x + 6 = 0 {\displaystyle x^{2}-3x+6=2x\Longrightarrow x^{2}-5x+6=0}
  2. a ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0,b\neq 0,c\neq 0} direnez, formula orokorra aplikatzen da eta erroak lortzen dira:

x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a = − ( − 5 ) ± 5 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 2 ⋅ 1 = 5 ± 25 − 24 2 = 5 ± 1 2 = 5 ± 1 2 ⟹ {\displaystyle \quad \quad \quad x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-(-5)\pm {\sqrt {5^{2}-4\cdot 1\cdot 6}}}{2\cdot 1}}={\frac {5\pm {\sqrt {25-24}}}{2}}={\frac {5\pm {\sqrt {1}}}{2}}={\frac {5\pm {1}}{2}}\Longrightarrow }

⟹ x 1 = 5 + 1 2 = 6 2 = 3 e t a x 2 = 5 − 1 2 = 4 2 = 2 {\displaystyle \quad \quad \quad \Longrightarrow \quad x_{1}={\frac {5+{1}}{2}}={\frac {6}{2}}=3\quad eta\quad x_{2}={\frac {5-{1}}{2}}={\frac {4}{2}}=2}

  • x 2 = 1 {\displaystyle x^{2}=1}

Ebazteko pausoak:

  1. Adierazpen orokorra lortzen da: x 2 − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-1=0} eta b = 0 {\displaystyle b=0} denez, ez da formula orokorra erabiltzen.
  2. x {\displaystyle x} askatzen da eta erroak lortzen dira:

x 2 − 1 = 0 ⟹ x 2 = 1 ⟹ x = ± 1 ⟹ x 1 = + 1 = 1 e t a x 2 = − 1 = − 1 {\displaystyle \quad \quad x^{2}-1=0\Longrightarrow x^{2}=1\Longrightarrow x=\pm {\sqrt {1}}\Longrightarrow x_{1}=+{\sqrt {1}}=1\quad eta\quad x_{2}=-{\sqrt {1}}=-1}

  • x 2 + 4 x = 0 {\displaystyle x^{2}+4x=0}

Adierazpen orokorraren parekidea da, eta c = 0 {\displaystyle c=0} denez, ez da formula orokorrera ( 1 ) {\displaystyle (1)} jo behar.

Ebazteko pausoak:

  1. Biderkagai komun bezala ateratzen da x {\displaystyle x} . Orduan: x 2 + 4 x = 0 ⟹ x ( x + 4 ) = 0 {\displaystyle x^{2}+4x=0\Longrightarrow x(x+4)=0}
  2. Biderkadura zero izan dadin, gutxienez, biderkagai batek zero izan behar du. Hortaz, biderkagai bakoitza zerora berdinduz, erroak lortzen dira.

x ( x + 4 ) = 0 ⟹ x = 0 e t a x + 4 = 0 ⟹ x 1 = 0 e t a x 2 = − 4 {\displaystyle \quad \quad x(x+4)=0\Longrightarrow x=0\quad eta\quad x+4=0\Longrightarrow x_{1}=0\quad eta\quad x_{2}=-4}

Hirugarren mailako edo maila altuagoko ekuazioak

Ezezagun bakar bateko n. mailako ekuazio batek honako itxura izango du:

a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 , a n ≠ 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\;,\quad a_{n}\neq 0}

Ruffiniren erregela
Sakontzeko, irakurri: «Ruffiniren erregela»

Hirugarren mailako (edo altuagoko) ekuazioak ebazteko, orokorrean, Ruffini-ren erregela erabiltzen da. Adibidea:

  • x 3 + 6 x 2 − 11 x + 6 = 0 {\displaystyle x^{3}+6x^{2}-11x+6=0\;\quad }

Ebazpena:

1.Gai bakoitzari dagokion koefizientea lerro zuzen batean jartzen da:

| 1 6 11 6 | | {\displaystyle {\begin{array}{c c c c }|&1&6&11&6\\|\\|\\\hline \end{array}}}

2. Eskuineko zenbakiaren zatitzaileak zeintzuk diren kontuan hartuz, hau da, kasu honetan ± 1 , ± 2 , ± 3 {\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 3} , zenbakia zero izatea lortu behar da:

| 1 6 11 6 | − 2 | − 2 − 8 − 6 1 4 3 0 {\displaystyle {\begin{array}{c c c c }&|&1&6&11&6\\&|\\-2&|&&-2&-8&-6\\\hline \\&&1&4&3&0\end{array}}}

3. Aurreko emaitzatik abiatuz, pausoak errepikatzen dira behin eta berriro, emaitzak zenbaki bakar bat eta zero bat lortu arte:

| 1 4 3 | − 3 | − 3 − 3 1 1 0 {\displaystyle {\begin{array}{c c c c }&|&1&4&3\\&|\\-3&|&&-3&-3\\\hline \\&&1&1&0\end{array}}}

| 1 1 | − 1 | − 1 1 0 {\displaystyle {\begin{array}{c c c c }&|&1&1\\&|\\-1&|&&-1\\\hline \\&&1&0\end{array}}}

Ruffiniren metodoa erabiliz, ebatzitako ekuazioaren erroak lortu dira. Hau da, ekuazioaren erroak honakoak dira:

x 1 = − 2 {\displaystyle x_{1}=-2}

x 2 = − 3 {\displaystyle x_{2}=-3}

x 3 = − 1 {\displaystyle x_{3}=-1}

Birkarratuak

4. mailako ekuazio bereziak dira ekuazio birkarratuak, zein 1. eta 3. mailako koefizientea 0 baita. Adierazpen orokorra honako hau da:

a x 4 + b x 2 + c = 0 ( 2 ) {\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0\quad \quad (2)}

Ebazpena:

Honako hauek dira ekuazioa birkarratuen soluzioak edo erroak lortzeko ohiko urratsak:

  1. Aldagai-aldaketa egiten da: x 2 = z {\displaystyle x^{2}=z} . Beraz, ekuazio hau lortzen da: a z 2 + b z + c = 0 {\displaystyle az^{2}+bz+c=0} .
  2. Problema 2. mailako ekuazio baten ebazpenera murrizten da; z {\displaystyle z} -ren balioak lortzen dira.
  3. z 1 {\displaystyle z_{1}} eta z 2 {\displaystyle z_{2}} bigarren mailako ekuazioaren erroak izanik, aldagai-aldaketa desegiten da eta hasierako ekuazioaren ( 2 ) {\displaystyle (2)} 4 erroak lortzen dira:
    • x 1 = + z 1 {\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {z_{1}}}}
    • x 2 = − z 1 {\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{1}}}}
    • x 3 = + z 2 {\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {z_{2}}}}
    • x 4 = − z 2 {\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {z_{2}}}}

Adibidea:

  • x 4 − 5 x 2 + 4 = 0 {\displaystyle x^{4}-5x^{2}+4=0}

Ebazteko urratsak:

  1. Aldagai-aldaketa egiten da: x 2 = z {\displaystyle x^{2}=z} . Beraz, ekuazio hau lortzen da: z 2 − 5 z + 4 = 0 {\displaystyle z^{2}-5z+4=0} .
  2. Bigarren mailako ekuazioa ebazten da. Erroak: z 1 = 1 , z 2 = 4 {\displaystyle z_{1}=1,\quad z_{2}=4} .
  3. Aldagai-aldaketa desegiten da, adibideko ekuazioaren 4 erroak lortzen dira:
    • x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1}
    • x 2 = − 1 {\displaystyle x_{2}=-1}
    • x 3 = 2 {\displaystyle x_{3}=2}
    • x 4 = − 2 {\displaystyle x_{4}=-2}

Ekuazio esponentzialak

Ezezaguna zenbaki baten berretzailean agertzen da, ekuazio esponentzialetan.

Ekuazio logaritmikoak

Ekuazioan logaritmo bat agertzen bada, ekuazio logaritmiko deritzo.

Ekuazio trigonometrikoak

Alderantzizko proportzionaltasun funtzioak

Errodun ekuazioak

Bi ezezagun edo gehiagoko ekuazioak

Ariketak

  • Ekuazioen ebazpenak
  • Ekuazio baliokideak ulertzeko bideoa.
  • Lehenengo mailako ekuazio baten ebazpena lantzeko ariketa.
  • Lehenengo mailako ekuazio baten ebazpena lantzeko ariketa II.
  • Ekuazio linealen adierazpen grafikoa ulertzeko ariketa.
  • Aldagai bakarreko ekuazio baten ebazpena.
  • Bigarren mailako ekuazioak ulertzeko bideoa.
  • Bigarren mailako ekuazio baten ebazpena lantzeko ariketa.
  • Bigarren mailako ekuazioak ulertzeko bideoa.
  • Bigarren mailako ekuazio baten ebazpena lantzeko ariketa II.
  • Bigarren mailako ekuazioaren soluzio kopurua kalkulatzea diskriminatzailea erabilita.
  • Ekuazio birkarratuak ebazteko ariketa.


Erreferentziak

  1. ↑ «Ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado» www.vitutor.com (Noiz kontsultatua: 2018-11-07).

Ikus, gainera

  • Ekuazio sistemak
  • Ekuazio diferentzialak
  • Inekuazioak

Kanpo estekak

Autoritate kontrola
  • Wikimedia proiektuak
  • Wd Datuak: Q1879820
  • Wd Datuak: Q1879820