Trinomio

En álgebra, un trinomio es una expresión algebraicas de únicamente tres monomios, sumados o restados.^[1]​

Ejemplos de trinomios

1. ${\displaystyle 3x+5y-8z}$ con ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ variables.
2. ${\displaystyle 3t-9s^{2}+3y^{3}}$ con ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle y}$ variables.
3. ${\displaystyle Px^{a}+Qx^{b}+Rx^{c}}$ con ${\displaystyle x}$ variable, las constantes ${\displaystyle a,b,c}$ son enteros positivos y ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$ constantes arbitrarias.
4. ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}}$, trinomio de segundo grado de dos variables homogéneo.
5. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, de tres variables.

Casos diversos

Trinomio cuadrado perfecto

Un Trinomio cuadrado perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

Trinomio irreducible

• Un trinomio es irreducible en ℚ si no se puede factorizar en expresiones de menor grado con elementos que sean números racionales así como ${\displaystyle x^{2}+4x+1}$
• Un trinomio es irreducible en ℝ cuando no se puede factorizar en expresiones de menor grado con elementos que sean reales así como ${\displaystyle x^{2}+x+1}$^[2]​

Trinomio de segundo grado en una variable

Al igualar a cero se obtiene una ecuación de segundo grado, la cual ya lo habían resuelto los babilonios usando tablas de cuadrados y otros cálculos.^{[cita requerida]} Como una función representa en la geometría analítica, la ecuación de una parábola, y ésta tiene aplicaciones en la física, al describir la trayectoria de un móvil lanzado; como también en el diseño de los faros de un auto. El cálculo del área subtendida por un sector parabólico, fue realizado por Arquímedes en época anterior a la era actual. Dicho esfuerzo son los inicios del cálculo integral, luego retomado por Fermat, Newton y Leibniz, en la época moderna.

Ejemplos

Sea:

${\displaystyle 12xy+9x^{2}+4y^{2}\,\!}$

Ordenando según las normas del álgebra, de mayor a menor grado de ${\displaystyle x\,\!}$, resulta que:

${\displaystyle 9x^{2}+12xy+4y^{2}\,\!}$

Y podemos darnos cuenta de:

${\displaystyle 9x^{2}=(3^{2})(x^{2})=(3x)^{2}\,\!}$

${\displaystyle 4y^{2}=(2y)^{2}\,\!}$

${\displaystyle 12xy=2(3x)(2y)\,\!}$

Podemos averiguar que es un TCP ya que cumple con las normas:

${\displaystyle 12xy+9x^{2}+4y^{2}=\left({\sqrt {9x^{2}}}+{\sqrt {4y^{2}}}\right)^{2}=(3x+2y)^{2}\,\!}$

Sea:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}+w^{2}+wy^{2}z\,\!}$

Ordenando respecto a la variable de mayor potencia (${\displaystyle y}$) tenemos:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}+wy^{2}z+w^{2}\,\!}$

evaluando el trinomio, vemos que:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}=\left({\frac {1}{2}}y^{2}z\right)^{2}\,\!}$

y

${\displaystyle w^{2}=(w)^{2}\,\!}$

por último, vemos que

${\displaystyle 2\left({\frac {1}{2}}y^{2}z\right)(w)=wy^{2}z\,\!}$

Entonces, la expresión es un trinomio cuadrado perfecto.

Trinomio de grado par de una variable

estos trinomios son de la forma:

${\displaystyle mx^{2p}+nx^{p}+l}$ donde m, n, l son constantes y p es un entero positivo.

Ejemplos

1. ${\displaystyle 5x^{4}-3x^{2}-1/4}$, origina una ecuación llamada bicuadrada
2. ${\displaystyle -15t^{12}-3/4t^{6}-13/25}$ un trinomio de duodécimo grado^[3]​

Trinomios usuales

1. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ que igualado a 0 , se conoce como la ecuación general de segundo grado en una variable
2. ${\displaystyle x^{2}+px+q}$ si se hace igual a 0 origina la forma reducida de una ecuación de segundo grado
3. ${\displaystyle y^{3}+py+q}$ igualando a 0, origina la ecuación cúbica reducida de una variable, a la que se puede aplicar la fórmula de Cardano.^[4]​
4. ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ sus ceros son las raíces cúbicas no reales de 1.^[5]​
5. ${\displaystyle x^{4}+x^{2}+1}$= ${\displaystyle (x^{2}+x+1)\times (x^{2}-x+1)}$. Sus ceros son la raíces cúbicas no reales de 1 y -1, respectivamente.

Aplicaciones

• Los trinomios factorizables en binomios lineales se usan en operaciones con fracciones algebraicas y al calcular el MCM y MCD de expresiones algebraicas enteras^[6]​
• En la descomposición en fracciones parciales, aparecen binomios lineales y trinomios cuadráticos;

Por ejemplo ${\displaystyle {\frac {2x+1}{x^{3}-1}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}}$^[7]​

Véase también

• Productos notables
• Factorización
• Completar el cuadrado

Referencias