Topología cofinita

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En matemáticas, la topología de los complementos finitos o topología cofinita sobre un conjunto ${\displaystyle X}$ es la topología dada por

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{cof}=\{A\subseteq X:X\setminus A{\text{ es finito ó }}A=\emptyset \}}$

Es decir, un subconjunto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ es abierto si su complemento es un conjunto finito.

Propiedades

Algunas propiedades sobre la topología cofinita sobre un conjunto ${\displaystyle X}$:^[1]​

• Si ${\displaystyle X}$ es finito, la topología cofinita es la topología discreta. En este caso, un subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$ es abierto si, y sólo si, es cerrado.
• La topología cofinita sobre ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ es menos fina que la topología usual.
• Un subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$ es cerrado si, y sólo si, ${\displaystyle A=X}$, ${\displaystyle A=\emptyset }$ ó ${\displaystyle A}$ es finito.
• Si ${\displaystyle x\in U\subseteq X}$, entonces ${\displaystyle U}$ es un entorno de ${\displaystyle x}$ si, y sólo si, ${\displaystyle X\setminus U}$ es finito.
• Todo espacio ${\displaystyle X}$ con la topología cofinita es T₁ y, por tanto, T₀.
• Si ${\displaystyle X}$ es infinito, entonces no es de Hausdorff. Como consecuencia, tampoco es T₃.
• Todo espacio ${\displaystyle X}$ con la topología cofinita es compacto y, por tanto, también es de Lindelöf.

Véase también

• Topología de los complementos numerables
• Espacio de Hausdorff
• Topología usual

Bibliografía

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995). Counterexamples in Topology (Dover reimpresión de 1978 edición). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446. 

Referencias