Segmento circular

En geometría, un segmento circular (o segmento de un círculo) es la porción de un círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Un segmento circular (en verde) está delimitado por una cuerda (línea discontinua) y el arco que toca los extremos de la cuerda (el arco mostrado sobre el área verde).
Un segmento circular (en verde) está delimitado por una cuerda (línea discontinua) y el arco que toca los extremos de la cuerda (el arco mostrado sobre el área verde).

Sea R el radio del círculo, θ el ángulo central, c la longitud de la cuerda, s la longitud del arco, h la altura del segmento circular (sagita) , y d la altura de la porción triangular (apotema).

  • El radio de tu círculo
es 
  
    
      
        R
        =
        h
        +
        d
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R=h+d{\frac {}{}}}
  • La longitud del arco es s = R ⋅ θ {\displaystyle s=R\cdot \theta } , donde θ {\displaystyle \theta \,} está en radianes.
  • La longitud de la cuerda es c = 2 R sen ⁡ ( θ 2 ) = R 2 − 2 cos ⁡ θ = R 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) {\displaystyle c=2R\operatorname {sen} \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\displaystyle R{\sqrt {2-2\cos \theta }}=R{\sqrt {2\left(1-\cos \theta \right)}}}
  • La altura es h = R ( 1 − cos ⁡ θ 2 ) {\displaystyle h=R\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}
  • El ángulo es θ = 2 arccos ⁡ ( d R ) {\displaystyle \theta =2\arccos \left({\frac {d}{R}}\right)}

Área

El área del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular.

A = R 2 ⋅ θ 2 − R 2 sen ⁡ θ 2 = R 2 2 ( θ − sen ⁡ θ ) {\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2}}-{\frac {R^{2}\operatorname {sen} \theta }{2}}={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\operatorname {sen} \theta \right)}

Si el ángulo está en radianes.

Área en función de una altura h L {\displaystyle h_{L}} en caso de un cilindro horizontal con un nivel de agua h L {\displaystyle h_{L}} :

d = − h L + R {\displaystyle d=-h_{L}+R}

θ = 2 arccos ⁡ ( − h L + R R ) = 2 arccos ⁡ ( 1 − h L R ) {\displaystyle \theta =2\arccos \left({\frac {-h_{L}+R}{R}}\right)=2\arccos \left(1-{\frac {h_{L}}{R}}\right)}

Demostración alternativa

El área del sector circular es: A = π R 2 ⋅ θ 2 π = R 2 ⋅ θ 2 {\displaystyle A=\pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {R^{2}\cdot \theta }{2}}}

Si se bisecciona el ángulo θ {\displaystyle \theta } , y por tanto la porción triangular, se obtienen dos triángulos con área total:

R sen ⁡ θ 2 ⋅ R cos ⁡ θ 2 = R 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 {\displaystyle R\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cdot R\cos {\frac {\theta }{2}}=R^{2}\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}

Dado que el área del segmento es el área del sector menos el área de la porción triangular, se obtienen

A = R 2 ( θ 2 − sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 ) {\displaystyle A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}

De acuerdo con la identidad trigonométrica de ángulo doble sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {sen} 2\theta =2\operatorname {sen} \theta \cos \theta \,} , por lo tanto:

sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 = 1 2 sen ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {sen} \theta }

con lo que resulta que el área es:

A = R 2 ( θ 2 − 1 2 sen ⁡ θ ) = R 2 2 ( θ − sen ⁡ θ ) {\displaystyle A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {sen} \theta \right)={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\operatorname {sen} \theta \right)}

Véase también

Enlaces externos

  • Weisstein, Eric W. «Segmento circular». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  • Definición de un segmento circular con animación interactiva (en inglés)
  • Fórmula para el área de un segmento circular con animación interactiva (en inglés)
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  • Wd Datos: Q783081
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