Principio de acotación uniforme

Principio de acotación uniforme

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio de Banach, ${\displaystyle Y}$ un espacio vectorial normado y ${\displaystyle B(X,Y)}$ el espacio de todos los operadores lineales continuos desde ${\displaystyle X}$ hasta ${\displaystyle Y}$. Supóngase que ${\displaystyle F}$ es una colección de operadores lineales continuos de ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$. Si

${\displaystyle \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty \quad {\text{ para todo }}x\in X}$,

entonces

${\displaystyle \sup _{\stackrel {T\in F,}{\|x\|\leq 1}}T(x)_{Y}=_{T}FT_{B}(X,Y)<\infty }$.

En el caso de que ${\displaystyle X}$ no sea el espacio vectorial trivial, entonces la semidesigualdad utilizada en el supremo del primer término de esta última cadena de igualdades (que tiene un rango de ${\displaystyle x}$ sobre la bola cerrada unidad) puede reemplazarse por una igualdad propia (que tiene un rango ${\displaystyle x}$ sobre la esfera unitaria cerrada).

Supóngase que por cada ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty }$

Para cada número entero ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ sea

${\displaystyle X_{n}=\left\{x\in X\ :\ \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}\leq n\right\}}$

Cada conjunto ${\displaystyle X_{n}}$ es un conjunto cerrado y, según el supuesto,

${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }X_{n}=X\neq \varnothing .}$

Por el teorema de categorías de Baire para un espacio métrico completo no vacío ${\displaystyle X}$, existe algún ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle X_{m}}$ tiene interior no vacío; es decir, existen ${\displaystyle x_{0}\in X_{m}}$ y ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tales que

${\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(x_{0})}}~:=~\left\{x\in X\,:\,\|x-x_{0}\|\leq \varepsilon \right\}~\subseteq ~X_{m}}$

Sea ${\displaystyle u\in X}$ con ${\displaystyle \|u\|\leq 1}$ y ${\displaystyle T\in F}$ Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T\left(x_{0}\right)\right\|_{Y}&[{\text{ por la linealidad de }}T]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{ dado que }}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m}]\\\end{aligned}}}$

Tomando el supremo sobre ${\displaystyle u}$ en la bola unitaria de ${\displaystyle X}$ y sobre ${\displaystyle T\in F}$ se deduce que

${\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}~\leq ~2\varepsilon ^{-1}m~<~\infty }$.

Corolario

Si una secuencia de operadores acotados ${\displaystyle \left(T_{n}\right)}$ converge puntualmente, es decir, el límite de ${\displaystyle \left(T_{n}(x)\right)}$ existe para todos los ${\displaystyle x\in X}$, entonces estos límites puntuales definen un operador lineal acotado ${\displaystyle T}$.

Por el principio de acotación uniforme, sea ${\displaystyle M=\max\{\sup _{n}\|T_{n}\|,T\}}$ un límite superior uniforme de las normas del operador.

Se fija un ${\displaystyle K\subset X}$ compacto cualquiera. A continuación, para cualquier ${\displaystyle \epsilon >0}$, se recubre finitamente (recurriendo a su compacidad) ${\displaystyle K}$ con un conjunto finito de bolas abiertas ${\displaystyle \{B(x_{i},r)\}_{i=1,...,N}}$ de radio ${\displaystyle r={\frac {\epsilon }{M}}}$

Dado que ${\displaystyle T_{n}\to T}$ es puntual para cada ${\displaystyle x_{1},...,x_{N}}$, para todos los ${\displaystyle n}$ grandes, ${\displaystyle \|T_{n}(x_{i})-T(x_{i})\|\leq \epsilon }$ es para todos los ${\displaystyle i=1,...,N}$.

En consecuencia, por la desigualdad triangular, se tiene que para todo ${\displaystyle n}$ grande, ${\displaystyle \forall x\in K,\|T_{n}(x)-T(x)\|\leq 3\epsilon }$.

Corolario

Cualquier subconjunto ${\displaystyle S\subseteq Y}$ débilmente acotado en un espacio normado ${\displaystyle Y}$ está acotado.

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio de Banach, ${\displaystyle \left(Y_{n}\right)}$ una secuencia de espacios vectoriales normados, y para cada ${\displaystyle n,}$ sea ${\displaystyle F_{n}}$ una familia ilimitada en ${\displaystyle L\left(X,Y_{n}\right).}$ Entonces, el conjunto

${\displaystyle R:=\left\{x\in X\ :\ {\text{ para todo }}n\in \mathbb {N} ,\sup _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}=\infty \right\}}$

es un conjunto residual y, por lo tanto, denso en ${\displaystyle X.}$

${\displaystyle R}$

${\displaystyle \bigcup _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}}$

de conjuntos de primera categoría. Por lo tanto, su conjunto residual ${\displaystyle R}$ es denso.

Dado un espacio barrilado ${\displaystyle X}$ y un espacio localmente convexo ${\displaystyle Y}$, cualquier familia de operadores lineales continuos acotados puntualmente desde ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ es equicontinua (e incluso uniformemente equicontinua).

Alternativamente, la afirmación también es válida siempre que ${\displaystyle X}$ sea un espacio de Baire e ${\displaystyle Y}$ sea un espacio localmente convexo.^[1]​

Proposición^[2]​

Sea ${\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}$ un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos, ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, y sea ${\displaystyle C\subseteq X}$ cualquier subconjunto acotado de ${\displaystyle X.}$ Entonces, la familia de conjuntos ${\displaystyle \{h(C):h\in H\}}$ está uniformemente acotada en ${\displaystyle Y}$ si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle H}$ es equicontinuo.
2. ${\displaystyle C}$ es un espacio compacto y convexo de Hausdorff subespacio de ${\displaystyle X}$, y para cada ${\displaystyle c\in C}$, la órbita ${\displaystyle H(c):=\{h(c):h\in H\}}$ es un subconjunto acotado de ${\displaystyle Y}$.

Teorema^[2]​

Sea ${\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}$ un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos, ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ (no necesariamente de Hausdorff o localmente convexos). Para cada ${\displaystyle x\in X,}$ se denota la órbita de ${\displaystyle x}$ por

${\displaystyle H(x):=\{h(x):h\in H\}}$

y sea ${\displaystyle B}$ el conjunto de todos los ${\displaystyle x\in X}$, cuya órbita ${\displaystyle H(x)}$ es un subconjunto acotado de ${\displaystyle Y.}$ Si ${\displaystyle B}$ es de segunda categoría (es decir, no exiguo) en ${\displaystyle X}$, entonces ${\displaystyle B=X}$ y ${\displaystyle H}$ son equicontinuos.

Demostración de que ${\displaystyle H}$ es equicontinuo:

Sean ${\displaystyle W,V\subseteq Y}$ entornos equilibrados del origen en ${\displaystyle Y}$ que satisfacen ${\displaystyle {\overline {V}}+{\overline {V}}\subseteq W}$. Se debe demostrar que existe un entorno ${\displaystyle N\subseteq X}$ del origen en ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle h(N)\subseteq W}$ para cada ${\displaystyle h\in H.}$

Sea

${\displaystyle C~:=~\bigcap _{h\in H}h^{-1}\left({\overline {V}}\right)}$,

que es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle X}$ (porque es una intersección de subconjuntos cerrados) que para cada ${\displaystyle h\in H,}$ también satisface ${\displaystyle h(C)\subseteq {\overline {V}}}$ y

${\displaystyle h(C-C)~=~h(C)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~=~{\overline {V}}+{\overline {V}}~\subseteq ~W}$

(como se mostrará, el conjunto ${\displaystyle C-C}$ es de hecho un entorno del origen en ${\displaystyle X}$ porque el interior topológico de ${\displaystyle C}$ en ${\displaystyle X}$ no está vacío). Si ${\displaystyle b\in B}$, entonces ${\displaystyle H(b)}$ está limitado en ${\displaystyle Y}$, lo que implica que existe algún número entero ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle H(b)\subseteq nV}$, por lo que si ${\displaystyle h\in H,}$ entonces ${\displaystyle b~\in ~h^{-1}\left(nV\right)~=~nh^{-1}(V).}$ Dado que ${\displaystyle h\in H}$ era arbitrario,

${\displaystyle b~\in ~\bigcap _{h\in H}nh^{-1}(V)~=~n\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)~\subseteq ~nC.}$

Esto prueba que

${\displaystyle B~\subseteq ~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nC.}$

Debido a que ${\displaystyle B}$ es de segunda categoría en ${\displaystyle X}$, lo mismo debe ser cierto para al menos uno de los conjuntos ${\displaystyle nC}$ para algún ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ La aplicación ${\displaystyle X\to X}$ definida por ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{n}}x}$ es un homeomorfismo (sobreyectivo), por lo que el conjunto ${\textstyle {\frac {1}{n}}(nC)=C}$ es necesariamente de segunda categoría en ${\displaystyle X}$. Debido a que ${\displaystyle C}$ está cerrado y es de segunda categoría en ${\displaystyle X}$, su interior en ${\displaystyle X}$ no está vacío. Elíjase ${\displaystyle c\in \operatorname {Int} _{X}C}$. Debido a que la aplicación ${\displaystyle X\to X}$ definida por ${\displaystyle x\mapsto c-x}$ es un homeomorfismo, el conjunto

${\displaystyle N~:=~c-\operatorname {Int} _{X}C~=~\operatorname {Int} _{X}(c-C)}$

es un entorno de ${\displaystyle 0=c-c}$ en ${\displaystyle X}$, lo que implica que lo mismo ocurre con su superconjunto ${\displaystyle C-C.}$ Y así, por cada ${\displaystyle h\in H,}$

${\displaystyle h(N)~\subseteq ~h(c-C)~=~h(c)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~\subseteq ~W.}$

Esto demuestra que ${\displaystyle H}$ es equicontinuo. Q.E.D.

Demostración de que ${\displaystyle B=X}$:

Debido a que ${\displaystyle H}$ es equicontinuo, si ${\displaystyle S\subseteq X}$ está acotado en ${\displaystyle X}$, entonces ${\displaystyle H(S)}$ está acotado uniformemente en ${\displaystyle Y}$. En particular, para cualquier ${\displaystyle x\in X}$, dado que ${\displaystyle S:=\{x\}}$ es un subconjunto acotado de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle H(\{x\})=H(x)}$ es un subconjunto uniformemente acotado de ${\displaystyle Y}$. Por lo tanto, ${\displaystyle B=X}$. Q.E.D.

Teorema^[4]​

Supóngase que ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots }$ es una secuencia de aplicaciones lineales continuas entre dos espacios vectoriales topológicos, ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$.

1. Si el conjunto ${\displaystyle C}$ de todos los ${\displaystyle x\in X}$ para los cuales ${\displaystyle h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots }$ es una secuencia de Cauchy en ${\displaystyle Y}$ de segunda categoría en ${\displaystyle X}$, entonces ${\displaystyle C=X.}$
2. Si el conjunto ${\displaystyle L}$ de todos los ${\displaystyle x\in X}$ en el que existe el límite ${\displaystyle h(x):=\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)}$ en ${\displaystyle Y}$ es de segunda categoría en ${\displaystyle X}$ y si ${\displaystyle Y}$ es un espacio vectorial topológico metrizable completo (como un espacio de Fréchet o un espacio F), entonces ${\displaystyle L=X}$ y ${\displaystyle h:X\to Y}$ son una aplicación lineal continua.

Teorema^[3]​

Si ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots }$ es una secuencia de aplicaciones lineales continuas desde un espacio F ${\displaystyle X}$ a un espacio vectorial topológico de Hausdorff ${\displaystyle Y}$ tal que para cada ${\displaystyle x\in X,}$ el límite

${\displaystyle h(x)~:=~\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)}$

existe en ${\displaystyle Y}$, entonces ${\displaystyle h:X\to Y}$ es una aplicación lineal continua y las aplicaciones ${\displaystyle h,h_{1},h_{2},\ldots }$ son equicontinuas.

Teorema^[2]​

Sea ${\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}$ un conjunto de operadores lineales continuos desde un espacio vectorial topológico metrizable completo ${\displaystyle X}$ (como un espacio de Fréchet o un espacio F) a un espacio vectorial topológico de Hausdorff ${\displaystyle Y}$. Si por cada ${\displaystyle x\in X}$, la órbita

${\displaystyle H(x):=\{h(x):h\in H\}}$

es un subconjunto acotado de ${\displaystyle Y}$, entonces ${\displaystyle H}$ es equicontinuo.

De esta manera, en particular, si ${\displaystyle Y}$ es también un espacio vectorial normado y si

${\displaystyle \sup _{h\in H}\|h(x)\|<\infty \quad {\text{ para cada }}x\in X,}$

entonces ${\displaystyle H}$ es equicontinuo.