Grupo profinito

En matemática, un grupo pro-finito G es un grupo que, en cierto modo, está muy "próximo" a ser finito.

Definición

Formalmente, un grupo pro-finito es límite inverso de grupos finitos. En concreto, ${\displaystyle G}$ es pro-finito si existe un conjunto dirigido ${\displaystyle I}$, una colección de grupos finitos ${\displaystyle \{H_{i}\}_{i\in I}}$, y homomorfismos ${\displaystyle \alpha _{ij}:H_{j}\to H_{i}}$ para cada par de elementos ${\displaystyle i,j\in I}$ con ${\displaystyle i\leq j}$, que satisfacen

• ${\displaystyle \alpha _{ii}=1}$ para todo ${\displaystyle i\in I}$
• ${\displaystyle \alpha _{ij}\circ \alpha _{jk}=\alpha _{ik}}$ para todos los ${\displaystyle i,j,k\in I}$ con ${\displaystyle i\leq j\leq k}$

con la propiedades:

• ${\displaystyle G}$ es isomorfo como grupo al límite proyectivo (límite inverso);

${\displaystyle \varprojlim \,H_{i}:=\{(h_{i})\in \prod _{i\in I}H_{i}\ |\ \alpha _{ij}(h_{j})=h_{i},\ \forall i\leq j\}}$, con la multiplicación componente a componente.

• El isomorfismo de ${\displaystyle G}$ a ${\displaystyle \lim \,H_{i}}$ (considerado como subespacio topológico de ${\displaystyle \prod H_{i}}$) es un homeomorfismo de espacios topológicos, en donde cada ${\displaystyle H_{i}}$ recibe la topología discreta y ${\displaystyle \prod H_{i}}$ recibe la topología producto.

Es posible verlos por tanto como grupos topológicos de manera natural: cada uno de los grupos finitos está dotado de la topología discreta, y como G es un subconjunto del producto de aquellos espacios discretos, hereda cierta topología que lo convierte en un grupo topológico.

Ejemplos

Cada grupo finito es trivialmente pro-finito. Los ejemplos más importantes de grupos pro-finitos son los enteros p-ádicos. La Teoría de Galois de las extensiones de cuerpos de grado infinito hace surgir de forma natural los grupos de Galois que resultan ser pro-finitos. Los grupos fundamentales que son tratados por la Geometría algebraica son también pro-finitos, debido a que, hablando rápidamente, el álgebra sólo puede 'ver' recubrimientos finitos de una variedad algebraica.

Propiedades

Cada grupo pro-finito es un Espacio de Hausdorff compacto: ya que todos los espacios finitos discretos son de Hausdorff, su producto será un espacio compacto de Hausdorff por el Teorema de Tychonoff. G es un conjunto cerrado de este producto y por tanto es también compacto y de Hausdorff.

Todo grupo pro-finito es totalmente disconexo y más aún: un grupo topológico es pro-finito si y solamente si es Hausdorff, compacto y totalmente disconexo.

Grupos Ind-finitos

Existe la noción de grupo ind-finito, que es la dual de grupo pro-finito. Será por tanto un grupo G que es el límite directo de grupos finitos. La terminología usual es sin embargo diferente: un grupo G es llamado localmente finito si cada subgrupo finitamente generado es finito. De hecho esto es equivalente a ser ind-finito.

Aplicando la dualidad de Pontryagin, uno puede ver que los grupos abelianos pro-finitos son los duales de los grupos abelianos discretos localmente finitos. Estos últimos son precisamente los grupos de torsión abelianos.

Véase también

• Grupo localmente cíclico

Enlaces externos

• Profinite group en PlanetMath.