Función Digamma Ψ ( s ) {\displaystyle \Psi (s)} s {\displaystyle s} Ψ ( s ) {\displaystyle \Psi (s)} argumento . En matemáticas , la función digamma se define como la derivada logarítmica de la función gamma :
ψ ( x ) = d ln Γ ( x ) d x = Γ ′ ( x ) Γ ( x ) {\displaystyle \psi (x)={\frac {d\ln \Gamma (x)}{dx}}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}} donde Γ {\displaystyle \Gamma } función gamma .
La función digamma es la primera de las funciones poligamma .
La función digamma también suele denotarse por ψ 0 ( x ) {\displaystyle \psi _{0}(x)} ψ ( 0 ) ( x ) {\displaystyle \psi ^{(0)}(x)} Ψ ( x ) {\displaystyle \Psi (x)}
Relación con los números armónicos La función gamma satisface la ecuación
Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)} derivando la expresión anterior respecto a z {\displaystyle z}
d Γ ( x + 1 ) d x = d [ x Γ ( x ) ] d x = x Γ ′ ( x ) + Γ ( x ) Γ ′ ( x + 1 ) = x Γ ′ ( x ) + Γ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\;\Gamma (x+1)}{dx}}&={\frac {d\left[x\Gamma (x)\right]}{dx}}\\&=x\Gamma '(x)+\Gamma (x)\\\Gamma '(x+1)&=x\Gamma '(x)+\Gamma (x)\end{aligned}}} dividiendo ambos lados de la igualdad por Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}
Γ ′ ( x + 1 ) Γ ( x + 1 ) = x Γ ′ ( x ) + Γ ( x ) x Γ ( x ) = Γ ′ ( x ) Γ ( x ) + 1 x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Gamma '(x+1)}{\Gamma (x+1)}}&={\frac {x\Gamma '(x)+\Gamma (x)}{x\Gamma (x)}}\\&={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}+{\frac {1}{x}}\end{aligned}}} o
ψ ( x + 1 ) = ψ ( x ) + 1 x {\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}} Dado que los números armónicos están definidos para n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
H n = ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} la función digamma se relaciona con ellos mediante
ψ ( n ) = H n − 1 − γ = ∑ k = 1 n − 1 1 k − γ {\displaystyle {\begin{aligned}\psi (n)&=H_{n-1}-\gamma \\&=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}-\gamma \end{aligned}}} donde H 0 = 0 {\displaystyle H_{0}=0} γ {\displaystyle \gamma }
Representación integral Si Re ( x ) > 0 {\displaystyle \operatorname {Re} (x)>0}
ψ ( x ) = ∫ 0 ∞ ( e − t t − e − x t 1 − e − t ) d t {\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)dt} combinando esta expresión con una integral que representa la constante de Euler-Mascheroni γ {\displaystyle \gamma }
ψ ( x + 1 ) = − γ + ∫ 0 1 ( 1 − t x 1 − t ) d t {\displaystyle \psi (x+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{x}}{1-t}}\right)dt} esta integral es el número armónico de Euler H x {\displaystyle H_{x}}
γ ( x + 1 ) = γ ( 1 ) + H x {\displaystyle \gamma (x+1)=\gamma (1)+H_{x}} Una consecuencia es la siguiente relación de recurrencia
γ ( w + 1 ) − γ ( x + 1 ) = H w − H x {\displaystyle \gamma (w+1)-\gamma (x+1)=H_{w}-H_{x}} Otra representación integral, debido a Dirichlet, es la siguiente
γ ( x ) = ∫ 0 ∞ 1 t ( e − t − 1 ( 1 + t ) x ) d x {\displaystyle \gamma (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{x}}}\right)dx} Representación como un producto La función ψ ( x ) / Γ ( x ) {\displaystyle \psi (x)/\Gamma (x)}
ψ ( x ) Γ ( x ) = e − 2 γ x ∏ k = 0 ∞ ( 1 − x x k ) e x x k {\displaystyle {\frac {\psi (x)}{\Gamma (x)}}=e^{-2\gamma x}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {x}{x_{k}}}\right)e^{\frac {x}{x_{k}}}} donde x k {\displaystyle x_{k}} k {\displaystyle k} ψ {\displaystyle \psi } γ {\displaystyle \gamma }
Series Utilizando fórmula del producto de Euler para la función gamma , junto con la ecuación funcional y una identidad para la constante de Euler-Mascheroni, obtenemos la siguiente expresión para la función digamma
ψ ( x + 1 ) = − γ + ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 n + x ) = − γ + ∑ n = 1 ∞ x n ( n + x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}\right)\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x}{n(n+x)}}\end{aligned}}} o equivalentemente
ψ ( x ) = − γ + ∑ n = 0 ∞ ( 1 n + 1 − 1 n + x ) = − γ + ∑ n = 0 ∞ x − 1 ( n + 1 ) ( n + x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+x}}\right)\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x-1}{(n+1)(n+x)}}\end{aligned}}} La identidad anterior puede ser usada para evaluar sumas de la forma
∑ n = 0 ∞ p ( n ) q ( n ) , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}},} donde p ( n ) {\displaystyle p(n)} q ( n ) {\displaystyle q(n)} m {\displaystyle m}
Empleando fracciones parciales en u n {\displaystyle u_{n}} q ( n ) {\displaystyle q(n)}
u n = p ( n ) q ( n ) = ∑ k = 1 m a k n + b k {\displaystyle u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}} para que la serie converja
lim n → ∞ n u n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0} en caso contrario la serie diverge. Dado que
∑ k = 1 m a k = 0 {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a_{k}=0} y
∑ n = 0 ∞ p ( n ) q ( n ) = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 1 m a k n + b k = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 1 m a k ( 1 n + b k − 1 n + 1 ) = ∑ k = 1 m ( a k ∑ n = 0 ∞ ( 1 n + b k − 1 n + 1 ) ) = − ∑ k = 1 m a k ( ψ ( b k ) + γ ) = − ∑ k = 1 m a k ψ ( b k ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}(\psi (b_{k})+\gamma )\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k})\end{aligned}}} Con las expansiones en series uno puede obtener
∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 1 m a k ( n + b k ) r k = ∑ k = 1 m ( − 1 ) r k ( r k − 1 ) ! a k ψ r k − 1 ( b k ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}\\&=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{r_{k}-1}(b_{k})\end{aligned}}} Serie de Taylor La función digamma tiene una serie zeta racional, dada por la serie de Taylor en x = 1 {\displaystyle x=1}
ψ ( x + 1 ) = − γ − ∑ k = 1 ∞ ζ ( k + 1 ) ( − x ) k {\displaystyle \psi (x+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)(-x)^{k}} y converge para | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} ζ ( n ) {\displaystyle \zeta (n)} función zeta de Riemann .
Serie de Newton La serie de Newton para la función digamma, en ocasiones llamada como serie de Stern, está dada por
ψ ( s + 1 ) = − γ − ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k k ( s k ) {\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s}{k}}} donde ( s k ) {\textstyle {\binom {s}{k}}}
ψ ( s + 1 ) = − γ − 1 m ∑ k = 1 m − 1 m − k s + k − 1 m ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k k [ ( s + m k + 1 ) − ( s k + 1 ) ] {\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left[{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right]} donde m = 2 , 3 , 4 , … {\displaystyle m=2,3,4,\dots }
Fórmula de reflexión La función digamma satisface una fórmula de reflexión similar a la que se cumple para la función gamma,
ψ ( 1 − x ) − ψ ( x ) = π cot ( π x ) {\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot(\pi x)} Teorema digamma de Gauss Para r , m ∈ Z + {\displaystyle r,m\in \mathbb {Z} ^{+}} r < m {\displaystyle r<m}
ψ ( r m ) = − γ − ln ( 2 m ) − π 2 cot ( r π m ) + 2 ∑ n = 1 ⌊ m − 1 2 ⌋ cos ( 2 π n r m ) ln sen ( π n m ) {\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \operatorname {sen} \left({\frac {\pi n}{m}}\right)} Véase también Referencias Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972. See section §6.4 Weisstein, Eric W . «Digamma function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés) . Wolfram Research . Q905326 Digamma function / Q905326 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\;\Gamma (x+1)}{dx}}&={\frac {d\left[x\Gamma (x)\right]}{dx}}\\&=x\Gamma '(x)+\Gamma (x)\\\Gamma '(x+1)&=x\Gamma '(x)+\Gamma (x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b20e07119e365482039e99032c786a588d6bfb4)
![{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left[{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d814108cc820525f8ebcb112142f248a9c290ac)
Datos: Q905326
Multimedia: Digamma function / Q905326
