Ecuación diferencial de Clairaut

La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor al matemático^[1]​ francés Alexis-Claude Clairaut,^[2]​ es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

${\displaystyle y=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$

donde ${\displaystyle y}$ es función de ${\displaystyle x}$, para resolver la ecuación, se diferencia respecto a ${\displaystyle x}$,^[3]​ quedando:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\left[x\;{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]\\&={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\end{aligned}}}$

lo que se reduce a

${\displaystyle 0=\left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$

y así tenemos que

${\displaystyle 0={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$

o

${\displaystyle 0=x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

En el primer caso, C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, se tiene la familia de ecuaciones dadas por:

${\displaystyle y(x)=Cx+f(C),\,}$

llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.

El otro caso,

${\displaystyle 0=x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right),}$

define sólo una solución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.

Ejemplo

Resolver:

${\displaystyle xy'''+(y''')^{2}=y''.\,}$

Se hace el cambio de variable

${\displaystyle y''=p,\,}$

por lo que

${\displaystyle xp'+(p')^{2}=p,\,}$

obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es:

${\displaystyle p=y''=Cx+C^{2},\,}$

de la cual se puede obtener y integrando dos veces, así:

${\displaystyle y=\int \int y''\,dxdx=\int \int (Cx+C^{2})\,dxdx=\int ({\frac {Cx^{2}}{2}}+C^{2}x+D)\,dx={\frac {Cx^{3}}{6}}+{\frac {C^{2}x^{2}}{2}}+Dx+E,\,}$

siendo D y E otras dos constantes cualquiera.

Solución:

${\displaystyle y={\frac {Cx^{3}}{6}}+{\frac {C^{2}x^{2}}{2}}+Dx+E.}$

Notas y referencias

Enlaces externos

• Clairaut, Alexis Claude (1736 (Année 1734)), «Solution de plusieurs Problemes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimée par une Équation donnée.», Histoire de l'Académie royale des sciences: 196-215 .. At Gallica: the paper of Clairaut introducing the equation named after him.
• Rozov, N. Kh. (2001), «Ecuación diferencial de Clairaut», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Representación de la envolvente de la familia de curvas de una ecuación diferencial de Clairaut