Conjunto bornívoro

En análisis funcional, un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo ${\displaystyle X}$ que tiene definida una bornología vectorial ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ asociada se denomina conjunto bornívoro o simplemente bornívoro, si absorbe a cada elemento de ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Si ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial topológico (EVT), entonces un subconjunto ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle X}$ es bornívoro si es bornívoro con respecto a la bornología de von-Neumann de ${\displaystyle X}$.

Los conjuntos bornívoros juegan un papel importante en las definiciones de muchas clases de espacios vectoriales topológicos, particularmente del espacio bornológico.

Definiciones

Si ${\displaystyle X}$ es un EVT, entonces un subconjunto ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle X}$ se llama bornívoro ^[1]​ si ${\displaystyle S}$ absorbe cada subconjunto acotado de ${\displaystyle X.}$

Un disco absorbente en un espacio localmente convexo es bornívoro si y solo si su funcional de Minkowski está limitado localmente (es decir, asigna conjuntos acotados a conjuntos acotados).^[1]​

Conjuntos infrabornívoros y aplicaciones infraacotadas

Una aplicación lineal entre dos EVT se denomina infraacotada si asigna discos de Banach a discos acotados.^[2]​

Un disco en ${\displaystyle X}$ se llama infrabornívoro si absorbe a cualquier disco de Banach.^[3]​

Un disco absorbente en un espacio localmente convexo es infrabornívoro si y solo si su funcional de Minkowski está infraacotado.^[1]​ Un disco en un espacio de Hausdorff localmente convexo es infrabornívoro si y solo si absorbe todos los discos compactos (es decir, si es "compactívoro"). ^[1]​

Propiedades

Cada subconjunto bornívoro o infrabornívoro de un EVT es absorbente. En un EVT pseudometrizable, cada subconjunto bornívoro es un entorno del origen.^[4]​

Dos topologías en el mismo espacio vectorial EVT tienen los mismos subconjuntos acotados si y solo si tienen los mismos subconjuntos bornívoros.^[5]​

Supóngase que ${\displaystyle M}$ es un subespacio vectorial de codimensión finita en un espacio localmente convexo ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle B\subseteq M.}$ Si ${\displaystyle B}$ es un barril (respectivamente, barril bornívoro y disco bornívoro) en ${\displaystyle M}$, entonces existe un barril (respectivamente, barril bornívoro y disco bornívoro) ${\displaystyle C}$ en ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle B=C\cap M.}$^[6]​

Ejemplos y condiciones suficientes

Cada entorno del origen en un EVT es bornívoro. La envolvente convexa, la envolvente convexa cerrada y la envolvente equilibrada de un conjunto de bornívoros son nuevamente bornívoras. La preimagen de un bornívoro bajo una aplicación lineal acotada es un bornívoro.^[7]​

Si ${\displaystyle X}$ es un EVT en el que cada subconjunto acotado está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita, entonces cada conjunto absorbente es un bornívoro.^[5]​

Contraejemplos

Sea ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ un espacio vectorial sobre los reales. Si ${\displaystyle S}$ es el recubrimiento equilibrado del segmento rectilíneo cerrado entre ${\displaystyle (-1,1)}$ y ${\displaystyle (1,1)}$, entonces ${\displaystyle S}$ no es bornívoro, pero el recubrimiento convexo de ${\displaystyle S}$ sí que lo es. Si ${\displaystyle T}$ es el triángulo cerrado y "relleno" con vértices ${\displaystyle (-1,-1),(-1,1),}$ y ${\displaystyle (1,1)}$, entonces ${\displaystyle T}$ es un conjunto convexo que no es bornívoro, pero su envolvente equilibrada sí que lo es.

Véase también

• Operador lineal acotado
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
• Espacio bornológico
• Bornología
• Espacio de aplicaciones lineales
• Espacio ultrabornológico
• Bornología vectorial

Referencias

Bibliografía

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