Die Möbius-Inversion oder auch Möbiussche Umkehrformel geht auf August Ferdinand Möbius zurück und erlaubt es, eine zahlentheoretische Funktion aus ihrer summatorischen Funktion zu rekonstruieren.
Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion
![{\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595c8b528a92771afe091895547d1780439d5d16)
und ihre summatorische Funktion
.
Dann gilt für jede natürliche Zahl
,
wobei
die Möbiusfunktion auf
mit Werten in
bezeichnet.
Verallgemeinerung
Beim Nachweis der Umkehrformel wird vom Zielbereich
der zahlentheoretischen Funktionen lediglich benutzt, dass
eine abelsche Gruppe ist. Für multiplikativ notierte abelsche Gruppen
erhält die Möbiussche Umkehrformel also die folgende Form:[1]
Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion
![{\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2a92a5b40a734547586726ba039762243d5a96)
und ihre „summatorische“ Funktion
![{\displaystyle F\colon \mathbb {N} \to G,\quad F(n)=\prod _{d\mid n}f(d).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8004cfa15351c8055ad5be9a4d7eee709b74dc6)
Dann gilt für jede natürliche Zahl
![{\displaystyle f(n)=\prod _{d\mid n}F\left({\frac {n}{d}}\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\mid n}F(d)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}=\prod _{de=n}F(d)^{\mu (e)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4742ed94c648a965aedb7fbf54d1be283eb91780)
wobei
die Möbiusfunktion auf
mit Werten in
bezeichnet.
Diese Form liefert mit
für das Kreisteilungspolynom
eine explizite Definition, allerdings im (gebrochen-)rationalen Funktionenkörper
, also im Quotientenkörper der Polynomalgebra
. Dass
und sogar
, erfordert weitere, gleichwohl einfache Argumente.[2]
Literatur
- Helmut Hasse: Zahlentheorie, 2. erweiterte Auflage, Akademie-Verlag, Berlin, 1963, mit 49 Abbildungen.
Einzelnachweise
- ↑ Helmut Hasse, I. § 2 (Teilbarkeit), Seite 21 unten.
- ↑ Helmut Hasse, III. § 27 (Einheitswurzelkörper), Seite 501.