Liste von Darstellungen für die Riemannsche Zeta-Funktion

Die folgende Liste enthält verschiedene Ausdrücke für die Riemannsche Zeta-Funktion.

Erwähnenswert ist der Reihenausdruck

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+1-\sum \limits _{n=1}^{\infty }(\zeta (s+n)-1){\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}}$,

der für alle Werte ${\displaystyle s\neq 1,0,-1,\dotsc }$ definiert ist.^[1] Interessant daran ist, dass sich damit die Zeta-Funktion rekursiv auf die ganze Zahlenebene fortsetzen lässt, da für die Berechnung von ${\displaystyle \zeta (s)}$ lediglich die Werte ${\displaystyle \zeta (s+1),\zeta (s+2),\dotsc }$ benötigt werden.

Von Helmut Hasse stammt die global konvergente Reihe^[2]

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left({n \atop k}\right){\frac {(-1)^{k-1}}{(k+1)^{s-1}}}.}$

Blagouchine gab 2018 zahlreiche Variationen und Verallgemeinerungen solcher Reihentypen.^[3]

Es gilt für ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}$:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{x}x^{s}}{(e^{x}-1)^{2}}}\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{2(1-2^{-s})\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{\sinh(x)}}\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {2^{s-1}}{\Gamma (s+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\sinh(x)^{2}}}\mathrm {d} x.}$

Für ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>0}$ mit ${\displaystyle s\not =1}$ gilt

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}(-1)}{2^{1-s}-1}}={\frac {1}{(1-2^{1-s})\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{(1-2^{1-s})\Gamma (s+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{x}x^{s}}{(e^{x}+1)^{2}}}\mathrm {d} x.}$

Ein exotischer und global konvergenter Ausdruck ergibt sich, wenn man direkt die elementare Reihendarstellung der Zeta-Funktion in die Abel-Plana-Summenformel einsetzt:^[4]

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t)}{(1+t^{2})^{\frac {s}{2}}\ (\mathrm {e} ^{2\,\pi \,t}-1)}}\,\mathrm {d} t}$.

Ganz ähnlich dazu gilt beispielsweise

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s-2}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\tan \left({\frac {\pi }{2}}\,\mathrm {i} \,t\right)}{{(1+\mathrm {i} \,t)}^{s}}}\,\mathrm {d} t}$,

wobei allerdings das Integral einschränkend nur für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$ konvergiert.

Eine Übersicht zu zahlreichen weiteren Integraldarstellungen stammt von Michael S. Milgram.^[5]

Zur Herleitung einer global gültigen Summenformel ist bei der Mellin-Transformation zu beachten, dass der Integrand neben der Kernfunktion ${\displaystyle t^{s-2}}$ eine um ${\displaystyle t=0}$ analytische Funktion ist:

${\displaystyle {\frac {t}{\mathrm {e} ^{t}-1}}=\sum _{\nu =0}^{\infty }{\frac {B_{\nu }}{\nu !}}t^{\nu }.}$

Diese Tatsache schafft eine enge Beziehung zwischen der Zeta-Funktion und den Bernoulli-Zahlen ${\displaystyle B_{\nu }}$. Durch sukzessives Abspalten der Taylor-Polynome von ${\displaystyle t/(\mathrm {e} ^{t}-1)}$ im Integrationsintervall von 0 bis 1 kann die Zeta-Funktion auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1,0,-1,\dotsc \}}$ fortgesetzt werden:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\left({\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{2s}}+\sum \limits _{\nu =2}^{\infty }{\frac {B_{\nu }}{\nu !}}{\frac {1}{s+\nu -1}}+\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\right).}$^[6]

Dabei wird ausgenutzt, dass ${\displaystyle 1/\Gamma (s)}$ eine ganze Funktion ist.

Es gilt

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-2^{1-s}}}={\frac {\lambda (s)}{1-2^{-s}}}}$

wobei ${\displaystyle \eta (s)}$ und ${\displaystyle \lambda (s)}$ die Dirichletsche Eta- bzw. Lambda-Funktion bezeichnet.^[7]

Werte der Riemannschen Zeta-Funktion tauchen auch als Funktionswerte der Polygammafunktion auf. Erwähnenswert ist in diesem Kontext eine Schar von Formeln, die für jedes natürliche ${\displaystyle n>1}$ gegeben sind durch^[8]

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\Gamma (1-s)}{n^{s}\log n}}\left(\sum \limits _{k=1}^{n-1}\psi _{s-1}\left({\frac {k}{n}}\right)-\left(n^{s}-1\right)\psi _{s-1}(1)\right).}$

1. ↑ Henri Cohen: Number Theory, Volume II. Analytic and Modern Tools. Springer Verlag, S. 74, Setzen von ${\displaystyle x=2}$ in die zweite Formel.
2. ↑ H. Hasse: "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe", Mathematische Zeitschrift. 32 (1) (1930): 458–464, doi:10.1007/BF01194645.
3. ↑ I. V. Blagouchine: Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions. INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. 18A (2018): 1–45. (arXiv).
4. ↑ Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational strategies for the Riemann zeta function., Journal of Computational and Applied Mathematics 121 (2000) 247–296, (PDF), S. 253.
5. ↑ Integral and Series Representations of Riemann’s Zeta function, Dirichlet’s Eta Function and a Medley of Related Results, (arXiv).
6. ↑ Dragan Miličić: Notes on Riemann’s Zeta Function. (PDF; 121 kB).
7. ↑ Eric W. Weisstein: Dirichlet Lambda-Function. In: MathWorld (englisch).
8. ↑ O. Espinosa, V. H. Moll: A generalized polygamma function, (arXiv), S. 6.