Hölder-Mittel

In der Mathematik ist das Hölder-Mittel, der Höldersche Mittelwert (nach Otto Hölder, 1859–1937) oder das Potenzmittel (engl. u. a. (p-th) power mean) ein (manchmal auch der) verallgemeinerter Mittelwert. Die Bezeichnung ist uneinheitlich, Bezeichnungen wie das $p$ -te Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent $p$ sind auch im Umlauf. Im Englischen wird es auch als generalized mean bezeichnet.

Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen, statt $H_{p}$ wird auch $M_{p}(x)$ , $m_{p}(x)$ oder $\mu _{p}(x)$ geschrieben.

Das Hölder-Mittel verallgemeinert die seit den Pythagoreern bekannten Mittelwerte wie das arithmetische, geometrische, quadratische und harmonische Mittel durch Einführung eines Parameters $p.$

Definition

Für eine reelle Zahl $p\neq 0$ wird das Hölder-Mittel der Zahlen $x_{1},\ldots ,x_{n}\geq 0$ zur Stufe $p$ definiert als

M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}={\sqrt[{p}]{\frac {x_{1}^{p}+x_{2}^{p}+\ldots +x_{n}^{p}}{n}}}

wobei die Wurzelschreibweise üblicherweise nur für natürliche Zahlen $p$ verwendet wird.

Eine dazu passende Definition für $p=0$ ist

M_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=\lim _{s\to 0}M_{s}(x_{1},\ldots ,x_{n}).

Eigenschaften

Das Hölder-Mittel ist homogen bezüglich $x_{1}\ldots ,x_{n}$ , das heißt

M_{p}(\alpha \,x_{1},\ldots ,\alpha \,x_{n})=\alpha \cdot M_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})

Außerdem gilt

M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}(M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))

Eine wichtige Ungleichung zu den Hölder-Mitteln ist

p<q\quad \Rightarrow \quad M_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\ldots ,x_{n})

Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte

\min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq {\bar {x}}_{\mathrm {harm} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {kubisch} }\leq \max(x_{1},\ldots ,x_{n})

Die Potenzmittelwerte stehen mit den Stichprobenmomenten $m_{p}$ um Null recht einfach in Beziehung:

{\bar {x}}(p)={\sqrt[{p}]{m_{p}}}

In der Stochastik wird die Konvergenz im p-ten Mittel über diese Potenzmittelwerte definiert.

Spezialfälle

Vier Mittelwerte zweier Werte *a, b*:
H = Harmonisches Mittel, G = Geometrisches Mittel,
A = Arithmetisches Mittel, Q = Quadratisches Mittel

Mittels Wahl eines geeigneten Parameters $p$ ergeben sich die bekannten Mittelwerte:

	$\lim _{p\to -\infty }$	$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})$	$=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$	Minimum
$p=-1$		$M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})$	$={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$	Harmonisches Mittel
	$\lim _{p\to 0}$	$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})$	$={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}$	Geometrisches Mittel
$p=1$		$M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})$	$={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$	Arithmetisches Mittel
$p=2$		$M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})$	$={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}$	Quadratisches Mittel
$p=3$		$M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})$	$={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}$	Kubisches Mittel
	$\lim _{p\to \infty }$	$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})$	$=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$	Maximum

Weitere Verallgemeinerungen

Gewichtetes Hölder-Mittel

Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten $\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}$ mit $\omega _{1}+\omega _{2}+\ldots +\omega _{n}=1$ definieren als

{M_{\omega }}^{p}=\left(\omega _{1}\cdot x_{1}^{p}+\omega _{2}\cdot x_{2}^{p}+\ldots +\omega _{n}\cdot x_{n}^{p}\right)^{1/p},

wobei für das ungewichtete Hölder-Mittel $\omega _{1}=\omega _{2}=\ldots =\omega _{n}={\tfrac {1}{n}}$ verwendet wird.

f-Mittel

Vergleiche Quasi-arithmetisches Mittel

Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu

M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)

bzw. gewichtet zu

M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\sum _{i=1}^{n}{\omega _{i}f(x_{i})}}\right)

Dabei ist $f$ eine Funktion von $x$ ; das Hölder-Mittel verwendet $\,f(x)=x^{p}$ .

Weitere Beispiele:

Sind $x_{1},\ldots ,x_{n}\geq 0$ die Renditen einer Kapitalanlage in den Jahren $1$ bis $n$ , so erhält man die mittlere Rendite als $f$ -Mittel der einzelnen Renditen zur Funktion $\,f(x)=\ln(1+x)$ .
Sind $x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Alter von $n$ Personen, so erhält man das versicherungstechnische Durchschnittsalter als $f$ -Mittel der einzelnen Alter zur Funktion $\,f(x)=\mu _{x}$ ; dabei bedeutet $\,\mu _{x}$ die Sterbeintensität. In der Praxis ist das summengewichtete versicherungstechnische Durchschnittsalter relevant, hier werden die Alter der versicherten Personen mit den jeweiligen Versicherungssummen gewichtet; die Sterbeintensität wird oft durch die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit $\,q_{x}$ ersetzt.

Siehe auch

Literatur

Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung, Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0
P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, S. 175–265