Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Die Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist eine matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilung, die von besonderem Interesse in der multivariaten Statistik ist. Dort hat man häufig mit Integralen über der orthogonalen Gruppe oder der Stiefel-Mannigfaltigkeit bezüglich eines invarianten Maßes zu tun. Zum Beispiel erscheint die Verteilung bei der Untersuchung der Funktionaldeterminante bei Transformationen mit orthogonalen respektive semiorthogonalen Matrizen. Die Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist das normalisierte Haar-Maß auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit.

Eine Zufallsmatrix, welche gleichverteilt über der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist, ist invariant unter der zweiseitigen Wirkung des Produktes der orthogonalen Gruppen ${\displaystyle O(p)\times O(n)}$, das heißt ${\displaystyle X\sim V_{1}XV_{2}}$ für ${\displaystyle V_{1}\in O(p),V_{2}\in O(n)}$.

Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Einführung

Sei ${\displaystyle V_{p,n}:=V_{n}(\mathbb {R} ^{p})}$ die Stiefel-Mannigfaltigkeit, das heißt der Raum aller orthonormalen ${\displaystyle n}$-Rahmen in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ für ${\displaystyle n\leq p}$. Wir können diese Mannigfaltigkeit auch als den Matrizenraum

${\displaystyle V_{p,n}=\{X\in \mathbb {R} ^{p\times n}\colon X'X=I_{n},\;n\leq p\}}$

darstellen. Die Stiefel-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zum Quotientenraum der orthogonalen Gruppen

${\displaystyle V_{p,n}\cong O(p)/O(p-n),}$

wir können beide miteinander identifizieren und im Fall ${\displaystyle p=n}$ erhalten wir gerade die orthogonale Gruppe. Die Stiefel-Mannigfaltigkeit übernimmt die linke Gruppenwirkung

${\displaystyle X\to VX,\quad V\in O(p).}$

${\displaystyle O(p-n)}$ ist eine kompakte abgeschlossene Lie-Untergruppe von ${\displaystyle O(p)}$. Nach dem Satz von Haar existiert ein Haar-Maß auf ${\displaystyle O(p)}$, welches wiederum ein invariantes Maß auf dem Quotientenraum ${\displaystyle O(p)/O(p-n)}$ induziert.

Herleitung des Haar-Maßes auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Sei ${\displaystyle X\in O(p)}$, dann differenzieren wir ${\displaystyle X'X=I_{p}}$ und erhalten

${\displaystyle dX'X+X'dX=0.}$

Seien ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{p}}$ die Spalten von ${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{p})}$. Das äußere Produkt der superdiagonalen Elemente liefert eine Differentialform

${\displaystyle (X'dX):=\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq p}x'_{i}dx_{j}=\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq p}(x_{1i}dx_{1j}+\cdots +x_{pi}dx_{pj}),}$

welche den Grad ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}p(p-1)}$ hat und somit maximal ist. Diese Differentialform ist invariant unter der linken und der rechten Gruppenwirkung der orthogonalen Gruppe. Integration der Differentialform liefert das entsprechende Haar-Maß der orthogonalen Gruppe.

Sei nun ${\displaystyle X\in V_{p,n}}$ ein Element der Stiefel-Mannigfaltigkeit und von der Form ${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})}$. Dann wählen wir eine Matrix ${\displaystyle X^{\perp }=(x_{n+1},\dots ,x_{p})\in \mathbb {R} ^{p\times (p-n)}}$, so dass ${\displaystyle [X\colon X^{\perp }]=(x_{1},\dots ,x_{p})\in O(p)}$. Die induzierte Differentialform des invarianten Maßes auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist vom maximalen Grad ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(2p-n-1)}$ und gegeben durch

${\displaystyle (X'dX):=\bigwedge \limits _{j=1}^{p-n}\bigwedge \limits _{1=i}^{n}x'_{n+j}dx_{i}\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq n}x'_{j}dx_{i}.}$

Die Differentialform hängt nicht von einer spezifischen Form von ${\displaystyle X^{\perp }}$ ab und ist wieder invariant unter linker und rechter Gruppenwirkung.^[1]

Integration des Haar-Maßes

Man kann nun zeigen, dass für das Integral des invarianten Maßes über der Stiefel-Mannigfaltigkeit folgende Rekursion

${\displaystyle \int _{V_{p,n}}(X'dX)=A_{p}\int _{V_{p-1,n-1}}(X'dX)_{-1},\qquad A_{p}:={\frac {2\pi ^{p/2}}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}p)}}}$

gilt. Die Notation ${\displaystyle (X'dX)_{-1}}$ steht hier einfach für das invariante Maß auf ${\displaystyle V_{p-1,n-1}}$.

Aus der Rekursion folgt

${\displaystyle v(p,n):=\int _{V_{p,n}}(X'dX)={\frac {2^{n}\pi ^{pn/2}}{\Gamma _{n}({\tfrac {1}{2}}p)}},}$

wobei ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ die multivariate Gammafunktion ist.^[2]

Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Die Gleichverteilung ist das eindeutige Haar-Wahrscheinlichkeitsmaß

${\displaystyle [dX]={\frac {1}{v(p,n)}}(X'dX),}$

wobei

${\displaystyle (X'dX)=\bigwedge \limits _{j=1}^{p-n}\bigwedge \limits _{1=i}^{n}x'_{n+j}dx_{i}\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq n}x'_{j}dx_{i}}$

ist und die Normalisierungskonstante

${\displaystyle v(p,n)={\frac {2^{n}\pi ^{pn/2}}{\Gamma _{n}({\tfrac {1}{2}}p)}}}$.^[2]

Literatur

• Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, ISBN 1-58488-046-5. 
• Yasuko Chikuse: Statistics on Special Manifolds. Hrsg.: Springer (= Lecture Notes in Statistics. Band 174). New York 2003, doi:10.1007/978-0-387-21540-2. 
• Yasuko Chikuse: Distributions of orientations on Stiefel manifolds. In: Journal of Multivariate Analysis. Band 33, Nr. 2, 1990, S. 247–264, doi:10.1016/0047-259X(90)90049-N. 
• Alan Treleven James: Normal Multivariate Analysis and the Orthogonal Group. In: Ann. Math. Statist. Band 25, Nr. 1, 1954, S. 40 - 75, doi:10.1214/aoms/1177728846. 
• K.V. Mardia und C.G. Khatri: Uniform distribution on a Stiefel manifold. In: Journal of Multivariate Analysis. Band 7, Nr. 3, 1977, S. 468–473, doi:10.1016/0047-259X(77)90087-2. 

Einzelnachweise

1. ↑ Yasuko Chikuse: Statistics on Special Manifolds. Hrsg.: Springer (= Lecture Notes in Statistics. Band 174). New York 2003, S. 14–16, doi:10.1007/978-0-387-21540-2. 
2. ↑ ^{a b} Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, ISBN 1-58488-046-5, S. 279–280.