Fermat-Catalan-Vermutung

Die Fermat-Catalan-Vermutung ist eine offene Vermutung der Zahlentheorie.

Sie hat ihren Namen daher, dass ihre Formulierung Ideen der Fermat-Vermutung und Catalanschen Vermutung umfasst. Die Vermutung besagt, dass es nur endlich viele Lösungen ${\displaystyle a,b,c,m,n,k\in \mathbb {N} }$ gibt mit

${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}}$,

wobei ${\displaystyle a,b,c}$ koprim zueinander sind und

${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1}$.

Letztere Bedingung schließt die pythagoräischen Tripel (${\displaystyle m=n=k=2}$ mit unendlich vielen Lösungen) aus und einige weitere Fälle mit unendlich vielen Lösungen. Die Ungleichung ${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}>1}$ wird genau erfüllt von ${\displaystyle (m,n,k)=(2,2,k),(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5)}$ und Permutationen, jeweils mit unendlich vielen Lösungen,^[1] und ${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}=1}$ von ${\displaystyle (m,n,k)=(2,4,4),(2,3,6),(3,3,3)}$ (mit Permutationen), mit jeweils endlich vielen Lösungen.

Der Fall der inzwischen bewiesenen Catalan-Vermutung ist der, bei dem eines der ${\displaystyle a,b,c}$ gleich ${\displaystyle 1}$ ist. Die einzige Lösung ist nach der Vermutung

${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$.

Streng genommen liefern unendlich viele ${\displaystyle m>6}$ eine Lösung, doch wird dies ebenfalls als trivialer Sonderfall ausgeschlossen.

Bekannt sind die nach dem Stand von 2015 die folgenden Lösungen:^[2]

${\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}\;}$

${\displaystyle 13^{2}+7^{3}=2^{9}\;}$

${\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}\;}$

${\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}\;}$

${\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;}$

${\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;}$

${\displaystyle 9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;}$

${\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;}$

${\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;}$

Die letzten und größten fünf Lösungen der Liste stammen von Frits Beukers und Don Zagier.^[3]

Nach einem auf dem Satz von Faltings beruhenden Satz von Henri Darmon und Andrew Granville^[4] gibt es zu festen ${\displaystyle n,m,k}$ nur endlich viele Lösungen. Die Fermat-Catalan-Vermutung behauptet die Endlichkeit aber auch für unendlich viele mögliche Exponenten.

Die Fermat-Catalan-Vermutung folgt aus der abc-Vermutung.^[1]

Nach der Vermutung von Andrew Beal muss einer der Exponenten in der Fermat-Catalan-Vermutung ${\displaystyle 2}$ sein.

Die Endlichkeit der Lösungen wurde für spezielle Kombinationen von Exponenten ${\displaystyle (m,n,k)}$ der Vermutung untersucht, darunter:

• (2, 3, 7) von Bjorn Poonen u. a. (2005)^[5]
• Die von Andrew Wiles bewiesene Fermatvermutung behandelt den Fall (k, k, k) mit keiner Lösung für ${\displaystyle k\geq 3}$
• Henri Darmon und Loïc Merel behandelten den Fall (k,k,2) und (k, k, 3) und zeigten, dass es keine Lösungen für (k, k, 3), ${\displaystyle k\geq 3}$ gibt und für (k, k, 2) für ${\displaystyle k\geq 4}$.^[6]
• (2n, 2n, 5) von Michael Bennett
• (2,4,n) von Jordan S. Ellenberg, Ellenberg/Bennett/Ng und Bruin^[7] und (2, n, 4) von Bennett und Bennett/Skinner
• (2,6,n) von Bennett/Chen und Bruin
• (2, n, 6), (3,3,2n), (3,6,n), (2, 2n, k) für k= 9, 10 oder 15, (4, 2n, 3) von Bennett, I. Chen, S. Dahmen, S. Yazdani
• (2,4,7) von Ghioca
• (2,3,8), (2,3,9), (2,4,5), (2,4,6), (3,3,4), (3,3,5) von Bruin (2004)^[8]
• (5,5,7), (7,7,5) von Dahmen/Siksek
• (3,4,5) Siksek/Stoll

Henri Darmon (2012) verfolgt ein Programm der Verallgemeinerung der Frey-Kurve des Fermatproblems (zu Frey-Abel-Varietäten), um die verallgemeinerten Fermat-Gleichungen ${\displaystyle (p,p,r)}$ zu untersuchen (mit ${\displaystyle r>3}$).

• Eric W. Weisstein: Fermat-Catalan Conjecture. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ ^{a b} Beukers: The ABC conjecture. (PDF; 514 kB) Vortragsfolien 2005
2. ↑ Die zehn Fälle wurden schon 1995 aufgezählt von Darmon, Granville. In: Bulletin of the London Mathematical Society, Band 27, 1995, S. 513–543. Sie finden sich auch in dem Vortrag von Beukers zur ABC-Vermutung 2005.
3. ↑ R. Daniel Mauldin: A generalization of Fermat’s problem: The Beal conjecture and prize problem. In: Notices AMS, Dezember 1997, Nr. 11, S. 1437, ams.org (PDF; 124 kB)
4. ↑ Darmon, Granville: On the equations zm = F(x, y) and Axp + Byq = Czr. In: Bulletin of the London Mathematical Society, Band 27, 1995, S. 513–543
5. ↑ Poonen, Edward Schaefer, Michael Stoll: Twists of X (7) and primitive solutions of ${\displaystyle x^{2}+y^{3}=z^{7}}$. arxiv:math/0508174
6. ↑ Darmon, Merel: Winding Quotients and Some Variants of Fermat’s Last Theorem. In: J. reine angew. Math. Band 490, 1997, S. 81–100, SUB Göttingen
7. ↑ Michael Bennett, mit Chen, Dahmen, Yazdani: The Generalized Fermat equation: a progress report. (PDF; 442 kB) Hawaii-Manoa 2012, Vortragsfolien
8. ↑ N. Bruin: Visualising Sha[2] in Abelian Surfaces. In: Math. Comput. Band 73, 2004, S. 1459–1476