Součinová topologie

Součinová topologie je pojem z matematiky, konkrétněji z topologie.

Definice

Nechť ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ jsou dva topologické prostory. Součinová topologie na kartézském součinu ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ je systém otevřených množin generovaný všemi množinami ${\displaystyle p_{i}^{-1}(U)}$, kde ${\displaystyle U}$ je otevřená množina v ${\displaystyle X_{i}}$ a ${\displaystyle p_{i}:X_{1}\times X_{2}\to X_{i}}$ definované ${\displaystyle p_{i}(x_{1},x_{2}):=x_{i},}$ ${\displaystyle i=1,2}$, jsou (přirozené) projekce. Podobně se definuje součinová topologie na libovolném součinů topologických prostorů (i nespočetném).

Příklad

Součinová topologie na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ uvažovaných s metrickou topologií je shodná s metrickou topologií na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}}$.

Tvrzení

1. Následující definice je ekvivalentní s definicí součinové topologie:

Součinová topologie je nejhrubší topologie na ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$, že projekce ${\displaystyle p_{i}}$ jsou spojité pro ${\displaystyle i\in \{1,2\}}$.

2. Součinová toplogie splňuje univerzální vlastnost, tj. kategorie topologických prostorů je kategorií se součinem.

Poznámka

Součinovou topologii lze definovat pro větší počet kartézsky násobených topologických prostorů. Na takovémto součinu lze zavést více přirozených součinových topologií, které však s výše uvedenou nemusejí obecně splývat.