Presburgerova aritmetika

Presburgerova aritmetika je jeden z axiomatických systémů formální teorie aritmetiky. Je podstatně slabší než Peanova aritmetika, zejména proto, že v jazyce neobsahuje symbol pro násobení. Pojmenována je po polském matematikovi Mojżeszi Presburgerovi, který tuto axiomatiku publikoval v roce 1929.

Axiomy

Presburgerova aritmetika je teorie v jazyce L obsahujícím konstantní symbol 0, unární funkční symbol S a binární funkční symbol +. Axiomy jsou následující:

• (PR1) ${\displaystyle \,0\neq S(x)}$
• (PR2) ${\displaystyle \,S(x)=S(y)\rightarrow x=y}$
• (PR3) ${\displaystyle \,x+0=x}$
• (PR4) ${\displaystyle \,x+S(y)=S(x+y)}$
• (schéma indukce) ${\displaystyle \varphi (0)\wedge (\forall x)(\varphi (x)\rightarrow \varphi (S(x)))\rightarrow (\forall x)(\varphi (x))}$ pro všechny formule ${\displaystyle \varphi }$ jazyka L

Vlastnosti

• Presburgerova aritmetika je bezesporná, úplná a rozhodnutelná teorie
• Každá formule jazyka L je v Presburgerově aritmetice ekvivalentní nějaké formuli, která je jednoho ze tří tvarů ${\displaystyle t=s,\;(\exists z)(t+z=s),\;(\exists z)(t=s+mz)}$, kde t,s jsou termy a m numerál (tj. term vzniklý m-násobnou aplikací funkčního symbolu S na konstantní symbol 0).

Související články

• Robinsonova aritmetika
• Peanova aritmetika