Kroneckerovo delta

Kroneckerovo delta je matematická funkce dvou proměnných, obvykle celých čísel. Je pojmenovaná po Leopoldu Kroneckerovi (1823-1891). Tato funkce se rovná 1, když se proměnné rovnají, a 0 v ostatních případech. Tak například δ 12 = 0 {\displaystyle \delta _{12}=0} , ale δ 33 = 1 {\displaystyle \delta _{33}=1} . Zapisuje se symbolem pomocí řeckého písmene delta: δij, a je pokládáno spíše za zkrácený zápis než za funkci.

δ i j = { 1 je-li  i = j 0 je-li  i ≠ j {\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{je-li }}i=j\\0&{\mbox{je-li }}i\neq j\end{matrix}}\right.}

nebo, při použití Iversonových závorek:

δ i j = [ i = j ] {\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,}

Vlastnosti delta funkce

Kroneckerovo delta má tzv. sítové vlastnosti, totiž pro j ∈ Z {\displaystyle j\in \mathbb {Z} } :

∑ i = − ∞ ∞ δ i j a i = a j . {\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }\delta _{ij}a_{i}=a_{j}.}

Tato vlastnost se podobá jedné z hlavních vlastností Diracovy delta funkce:

∫ − ∞ ∞ δ ( x − y ) f ( x ) d x = f ( y ) , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y),}

a ve skutečnosti byla Diracova delta funkce pojmenována podle Kroneckerova delta, protože má analogické vlastnosti. Kroneckerovo delta se používá v mnoha oblastech matematiky. Například v lineární algebře lze jednotkovou matici napsat jako δ i j {\displaystyle \delta _{ij}\,} zatímco tenzor, Kroneckerův tenzor, lze napsat δ i j {\displaystyle \delta _{i}^{j}} s kontravariantním indexem j. To je přesnější způsob zápisu jednotkové matice, považované za lineární zobrazení.

Zobecnění delta funkce

Ve stejném duchu můžeme analogicky definovat vícedimenzionální funkci mnoha proměnných

δ i 1 , i 2 , … , i n j 1 , j 2 , … , j n := ∏ k = 1 n δ i k , j k {\displaystyle \delta _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}^{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n}}:=\prod _{k=1}^{n}\delta _{i_{k},j_{k}}} .

Tato funkce nabývá hodnotu 1 tehdy a jen tehdy, když všechny horní indexy jsou stejné jako dolní indexy, a nabývá hodnotu nula ve všech ostatních případech.

Kroneckerovo delta jako tenzor

V diferenciální nebo Riemannově geometrii se využívá obecnější zavedení Kroneckerova delta - zavádí se jako tenzor druhého řádu, který je na varietě M definován jako

δ n _ m _ = δ j i   d n _ x j ⊗ ∂ m _ ∂ x i , {\displaystyle \delta _{\underline {n}}^{\underline {m}}=\delta _{j}^{i}\ {\boldsymbol {\mathrm {d} }}_{\underline {n}}x^{j}\otimes {\frac {{\boldsymbol {\partial }}^{\underline {m}}}{{\boldsymbol {\partial }}x^{i}}},}

nebo v souřadnicovém zápisu jen jako δ j i {\displaystyle \delta _{j}^{i}} tak, že δ j i = 1 {\displaystyle \delta _{j}^{i}=1} je-li i = j {\displaystyle i=j\,} a δ j i = 0 {\displaystyle \delta _{j}^{i}=0} jinak. Takto zavedený objekt se chová jako tenzor a jeho hodnota je stejná ve všech soustavách souřadnic. Pokud indexy δ {\displaystyle \delta } snížíme, nebo zvýšíme, může být hodnota δ i j {\displaystyle \delta ^{ij}} , resp. δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} , obecně jiná.

Související články