Booleova nerovnost

Booleova nerovnost je označení pro tvrzení z oboru teorie pravděpodobnosti pojmenované po Georgeovi Booleovi, které říká, že pro každou spočetnou množinu náhodných jevů je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich nastane, nejvýše rovna součtu pravděpodobností jednotlivých jevů.

Z hlediska teorie míry je tvrzení důsledkem skutečnosti, že jakákoliv míra včetně pravděpodobnostní míry je spočetně subaditivní.

Formální vyjádření

Pro spočetnou množinu náhodných jevů ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots }$ platí

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

Důkaz indukcí

Případ ${\displaystyle n=1}$, zjevně platí, neboť

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1}).}$

Předpokládejme, že tvrzení platí pro ${\displaystyle n}$, tedy

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

Protože platí ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B),}$ a operace sjednocení je asociativní, platí

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right).}$

Dále protože

${\displaystyle {\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}{\biggr )}\geq 0,}$

pak podle prvního Kolmogorovova axiomu pravděpodobnosti máme

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1}),}$

a tedy v kombinaci s indukčním předpokladem

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb {P} (A_{i}).}$

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Boole's inequality na anglické Wikipedii.