Una de les integrals indefinides més difícils de calcular és
![{\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c93596f1fc36e72157fb7ba557148a5be5b26a65)
Obtenció
Aquesta primitiva es pot calcular emprant la integració per parts, tal com segueix:
![{\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx=\int u\,dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/133a4e37d95e9a439679da726ba8c3e88cf97da0)
on
![{\displaystyle {\begin{aligned}u&{}=\sec x,\\dv&{}=\sec ^{2}x\,dx,\\du&{}=\sec x\tan x\,dx,\\v&{}=\tan x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72fc9c66f510083aa14c6122b9f60588a8d6f641)
Llavors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&{}=\int u\,dv\\&{}=uv-\int v\,du\\&{}=\sec x\tan x-\int \sec x\tan ^{2}x\,dx\\&{}=\sec x\tan x-\int \sec x\,(\sec ^{2}x-1)\,dx\\&{}=\sec x\tan x-\int \sec ^{3}x\,dx+\int \sec x\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a835f33fafc8d90b9d5d8bd0d51d7ba3318f2e)
Sumant
als dos cantons de la igualtat:
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\int \sec ^{3}x\,dx&{}=\sec x\tan x+\int \sec x\,dx\\&{}=\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|+C.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a367f9a4ec0eb265a96a326c683a4a3cf7cc2680)
Dividint els dos cantons entre 2 s'obté el resultat que s'ha presentat al començament.
Potències de la secant d'exponent senar més gran que 3
Igual que la integració per parts de més amunt ha reduït la integral de la secant al cub a la integral de la secant a la primera potència, d'igual manera un procés similar redueix la integral de la secant elevada a potències senars més grans que 3 a potències més petites. Aquesta és la fórmula de Reducció de la Secant que segueix:
Alternativament:
Vegeu també
Integració |
---|
|
Càlcul de primitives | | ![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac02adeed584466d53dee65f3228ad66939eb58b) |
---|
Taules d'integrals | |
---|
Definicions d'integració | |
---|
Extensions de la integral | |
---|
Integració numèrica | |
---|