Equació hiperbòlica en derivades parcials

Una equació hiperbòlica en derivades parcials és una equació diferencial en derivades parcials de segon ordre del tipus:

A u x x + 2 B u x y + C u y y + D u x + E u y + F = 0 {\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0\quad }

en la qual la matriu Z = [ A B B C ] {\displaystyle Z={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}}} té un determinant menor que 0. Un exemple d'una equació diferencial en derivades parcials parcials hiperbòlica és l'equació d'ona.

Exemples

A través d'un canvi de variables lineal, qualsevol equació de la forma:

A ∂ 2 u ∂ x 2 + 2 B ∂ 2 u ∂ x ∂ y + C ∂ 2 u ∂ y 2 + (termes derivatius de menor ordre) = 0 {\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(termes derivatius de menor ordre)}}=0}

amb

B 2 − A C > 0 {\displaystyle B^{2}-AC>0}

es pot transformar en l'equació d'ona, més enllà dels termes d'ordre menor que no són essencials per comprendre l'equació de manera qualitativa.[1] Aquesta definició és anàloga a la de la hipèrbola plana.

L'equació d'ona unidimensional:

∂ 2 u ∂ t 2 − c 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}

és un exemple d'una equació hiperbòlica. Les equacions d'ona bidimensional i tridimensional també pertanyen a la categoria de les PDEs hiperbòliques. Aquest tipus d'equacions hiperbòliques en derivades parcials de segon ordre es poden transformar en sistemes hiperbòlics d'equacions diferencials de primer ordre.[2]

Vegeu també

Bibliografia

  • Evans, Lawrence C. (2010), Partial differential equations, vol. 19 (2nd ed.), Graduate Studies in Mathematics, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4974-3, <http://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf>

Referències

  1. ↑ Evans 1998, p.400
  2. ↑ Evans 1998, p.402